新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第61讲　离散型随机变量及其分布列、数字特征（原卷版）.doc

第61讲离散型随机变量及其分布列、数字特征

1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1，2，…，n)；

②p1＋p2＋…＋pn＝1.

4.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)方差

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－E（X））2pi)为随机变量X的方差，并称eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.

5.均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).

考点1分布列的性质

[名师点睛]

分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

[典例]

(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X

－1

0

1

P

eq\f(1,2)

1－q

q－q2

则q等于()

A．1 B.eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)

C．1＋eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)

(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则()

A．a＝eq\f(1,15)B．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ\f(4,5)))＝eq\f(1,5)C．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)ξ\f(1,2)))＝eq\f(2,15)D．P(ξ＝1)＝eq\f(3,10)

[举一反三]

随机变量X的分布列如下：

X

－1

0

1

P

a

b

c

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.

考点2离散型随机变量的分布列及数字特征

[名师点睛]

求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤

(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．

(2)求ξ取每个值的概率．

(3)写出ξ的分布列．

(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．

[典例]

1.(多选)设离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

q

0.4

0.1

0.2

0.2

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有()

A．q＝0.1

B．E(X)＝2，D(X)＝1.4

C．E(X)＝2，D(X)＝1.8

D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2

2.(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X表示取出的数字的最小数，则随机变量X的均值E(X)等于()

A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,4)D.eq\f(9,5)

3.甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2).记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.

[举一反三]

1．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列如下：

X

0

1

2

P

eq\f(1,6)

eq\f(1,3)

a

则随机变量Y的方差D(Y)等于()

A.eq\f(5,9) B.eq\f(20,9)

C.eq\f(4,3) D.eq\f(29,9)

2.(2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等