高等数学-高斯公式.pptVIP

例1其中?为柱面闭域?的整个边界曲面的外侧.解利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3所围空间思考:若?为圆柱侧面(取外侧),如何计算?利用质心公式,注意用Gauss公式计算这里若?改为内侧,结果有何变化?例2其中?为锥面解取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧,?,?,?为法向量的方向角.所围区域为?,则利用Gauss公式计算积分作辅助面利用质心公式,注意思考:提示:介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面例3设?为曲面取上侧,求解作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标在闭区域?上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例4其中?是整个?边界面的外侧.注意:高斯公式设函数注意:高斯公式证由高斯公式得移项即得所证公式.令*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域G,若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域;若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但空间一维单连通域.2.闭曲面积分为零的充要条件定理2在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,?为G内任一闭曲面,则①证根据高斯公式可知②是①的充分条件.的充要条件是:②“必要性”.用反证法.已知①成立,“充分性”.因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域则由与①矛盾,故假设不真.因此条件②是必要的.取外侧,高斯公式得*三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设?为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面?的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为若?为方向向外的闭曲面,当?0时,说明流入?的流体质量少于当?0时,说明流入?的流体质量多于流出的,则单位时间通过?的流量为当?=0时,说明流入与流出?的流体质量相等.流出的,表明?内有泉;表明?内有洞;根据高斯公式,流量也可表为??方向向外的任一闭曲面,记?所围域为?,设?是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在?式两边同除以?的体积V,并令?以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,?是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过在场中点M(x,y,z)处记作显然有向曲面?的通量(流量).称为向量场A在点M的散度.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束*点击相片或高斯按钮可观看关于高斯的简介,并自动返回*