2025届高考数学一轮复习第五章5.3平面向量的数量积及平面向量的应用核心考点精准研析训练理含解析北师大版.docVIP

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第五章

核心考点·精准研析

考点一平面对量的数量积的基本概念及运算?

1.(2024·全国卷II)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()

A.4 B.3 C.2

【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.

2.(2024·皖南八校联考)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=.?

【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,所以(a+2b)·a=a2+

2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos45°=1+QUOTE.

答案:1+QUOTE

【一题多解】

坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,可设a=QUOTE,

b=(1,0),则a+2b=QUOTE,(a+2b)·a=QUOTE×QUOTE+QUOTE=1+QUOTE.

答案:1+QUOTE

3.(2024·合肥模拟)已知平面对量a,b满意|a|=1,|b|=2,|a+b|=QUOTE,则a在b方向上的射影等于.?

【解析】因为|a|=1,|b|=2,|a+b|=QUOTE,

所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,

所以a·b=-1,

所以a在b方向上的射影为QUOTE=-QUOTE.

答案:-QUOTE

平面对量数量积的三种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosa,b.

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.

(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.

考点二平面对量的数量积在几何中的应用?

【典例】1.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.?

2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的 ()

世纪金榜导学号

A.重心外心垂心 B.重心外心内心

C.外心重心垂心 D.外心重心内心

(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)

【解题导思】

序号

联想解题

1

看到“·=-4”,想到和分别用,来表示

2

看到三个题设条件,想到△ABC的“三心”

【解析】1.·=3×2×cos60°=3,=QUOTE+QUOTE,则·=·

(λ-)

=QUOTE×3+QUOTE×4-QUOTE×9-QUOTE×3=-4?λ=QUOTE.

答案:QUOTE

2.选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.

1.平面对量中数量积的三种求法

(1)利用定义求解.

(2)利用向量的坐标运算求解.

(3)利用向量数量积的几何意义求解.

2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略

(1)利用运算律结合图形先化简再运算.

(2)留意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).

【拓展】三角形四心的向量表示

在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满意:

(1)++=0,则点O为三角形的重心.

(2)||=||=||,则点O为三角形的外心.

(3)·=·=·,则点O为三角形的垂心.

(4)||·+||·+||·=0,则点O为三角形的内心.

1.(2024·济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是 ()

A.矩形 B.正方形

C.菱形 D.梯形

【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线相互垂直,所以四边形ABCD是菱形.

2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满意=

QUOTE[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹肯定经过()

A.△ABC的内心

B.△ABC的垂心

C.△ABC的重心

D.AB边的中点

【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,

因为=QUOTE[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],

所以=QUOTE[2(1-λ)+(1+2λ)]=QUOTE+QUOTE,又QUOTE+QUOTE=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹肯定经过△