【权威 北京专用 含答案解析】冲刺2025高考数学大题突破培优专题04圆锥曲线.docxVIP

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培优专题04圆锥曲线

题型1直线和曲线联立及根的判别式和韦达定理

直线和曲线联立及根的判别式和韦达定理，解题的思路是：

1、联立的具体操作过程.

（1）椭圆与直线相交于两点，设，

，

椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，

将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．

（2）抛物线与直线相交于两点，设，

联立可得，时，

特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．

抛物线与直线相交于两点，设，

联立可得，时，

2、必备知识：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．

（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．

（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．

（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．

（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．

1．（2024·上海·模拟预测）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.

(1)若的离心率为2，求.

(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.

(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.

【答案】(1)；(2)当时，；(3)的最大值为.

【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可；

（2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；

（3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解.

【详解】（1）由双曲线的方程知，，

因为离心率为2，所以，得.

（2）当时，双曲线，且.

因为点在第一象限，所以为钝角.

又为等腰三角形，所以.

设点，且，则

得，所以.

（3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称.

设，则.

由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.

联立直线与双曲线的方程得

消去，得，

且，即，得.

，

由，得，

所以，即，

整理得，

所以，

整理得，所以.

又，所以，解得，

所以，又，

故的取值范围是，故的最大值为.

2．（2025·广东·一模）已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．

(1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；

(2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围．

【答案】(1)或．(2)

【分析】（1）法一：设，由面积公式求得，再联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解；

法二：设，由面积求得，结合弦长公式求得，联立即可求解；

（2）法一：设点，得到方程，求出，设的内切圆圆心，再由到的距离与点到的距离相等，得到，进而可求解；或化简得到，通过换元构造函数，通过求导求解即可；

法二：设，得到，，进而得到，构造函数进而可求解；

【详解】（1）

法一：??当轴，令，则，

设直线，由于，

则，

由于，则，则，

，

则，则，

所以直线的方程为或．

法二：设，倾斜角为，由对称性知有两条，且关于对称，

不妨设，那么，

则，则，

由于，则，

则，

，

则由对称性，另一条直线：，

所以直线的方程为或．

（2）法一：设点，

因为，同理：，

所以，化简可得：，

同理可得：，，

，

又因为，直线和直线交于点，

所以，且，即，

，且，化简得：，于是，

则，解得，所以点，

由于，则，所以，则轴平分，

设的内切圆圆心，则到的距离，

点到的距离，

所以，

化简可得：，

由于，当且仅当取等号（舍），

则，

则．

或由化简得到：，

令，当且仅当取等号（舍），

则，设，

，

则在单调递减，．】

法二：点证明同解法1；

设的内切圆圆心，

设定点，由于，设半径为，

设，于是，

，那么，

（或：在中，由角平分线定理：．则．）

设，

由于，当且仅当取等号（舍），则，

则，则．

3．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合．

??

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为．

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求证：．

【答案】(1)(2)（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析

【分析】（1）根据条件求出椭圆上顶点坐标即可得到的值，利用离心率可得椭圆标准方程.

（2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，借助韦达定理可得的值.

（ⅱ）根据外心为三角形三边垂直平分线的交点表示点的坐标，计算直线的斜率，利用斜率之积为可证