全国通用2025版高考数学二轮复习第三层备考篇专题二4大数学思想系统归纳第2讲数形结合思想讲义 .pdf

第2讲数形结合思想

数形结合思想，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学

题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：

以形助数以数助形

借助形的直观性来阐明数之间的联系.以形借助于数的精确性来阐明形的某些属性.以

助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的

借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于数量关系，借助于运算结果与几何定理的结

解析几何方法合

由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却须要转化

的意识，因此，数形结合的思想的运用往往偏重于由“数”到“形”的转化.

应用(一)利用数形结合思想探讨函数的零点题

\g(x),xVO,

［例1］已知函数g(x)=3—X—2x,f(x)=〈且函数y=f(x)—X恰

［g(x—l),xNO,

有3个不同的零点，则实数a的取值范围是.

\a—x—2x,xVO,

［解析］广(才)={2.、y=f(x)—x恰有3个不同的零点等价于夕=广(才)与

［a—x+1,x3O,

y=x有三个不同的交点，试想将曲线f(x)上下平移使之与y=x有三个交点是何等的困难,

故可变形再结合图象求解.

{a—x—^x,xV0,

由f{x)—x=\?

[a~x—x+1,xNO,

{—x—3x,xVO,

可得心一x=a+\9

[—x—x+lfxNO,

所以y=f{x)—x有三个零点等价于

x+3x,xVO,

a—有三个根.

x+x~lfxNO

x+3x,xVO,

令h{x)=

x+x—l,xNO,

画出y=h3的图象如图所示，将水平直线y=a从上向下平移，

当a=O时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a=—1时，\3/

有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此ae［—1,0).___\

［答案］—1,0)VLZLf

［技法领悟］

利用数形结合探究方程解的题应留意两点

(1)探讨方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使题转化为探讨两曲线的交

点题，但用此法探讨方程的解肯定要留意图象的精确性、全面性，否则会得到错解.

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类题的关键，数形结合应以快和准为原则，不

要刻意去用数形结合.

［应用体验］

1.已知=|x|+|才一11,若g(x)=f*(x)—a的零点个数不为0,贝。a的最小值为

1一2入，矛〈0,

解析:原方程等价于hx)=1,OWxWl,其图象如图所示，要

、2万一1,x〉l,

使a=f3有零点，则aNl,因此a的最小值为1.

答案：1

|x|,x^m,