2025版新教材高中数学第五章三角函数1.1任意角学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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随意角

课标解读

课标要求

素养要求

1.了解随意角的概念，区分正角、负角与零角.

2.了解象限角的概念.

3.理解并驾驭终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.

1.数学抽象——会依据随意角的概念推断角的位置.

2.逻辑推理——能用随意角的概念求解相关问题.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一正角、负角和零角

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做①正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做②负角.假如一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个③零角.

要点二随意角

随意角包括；正角，负角和零角.

设α，β是随意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是④α+β.

要点三象限角

为了便利，使角的顶点与原点重合.角的始边与x轴的⑤非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.假如角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.

要点四全部与角α终边相同的角

全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β∣⑥β=α+k?360°_,k∈

自主思索

1.当钟表慢了（或快了），我们会将分针按某个方向转动，把时间调整精确.在调整的过程中，分针转动的角是正角还是负角?

答案：提示当钟表慢了，将分针顺时针转动，此时分针转动的角为负角；当钟表快了，将分针逆时针转动，此时分针转动的角为正角.

2.“锐角”“第一象限角”“小于90??

答案：提示锐角是第一象限角，也是小于90??°的角；第一象限角可以是锐角，也可以是大于360??

3.若角α与β的终边相同，则角α与β有何关系?

答案：提示①三重合:α与β的顶点重合，始边重合.终边重合.

②大小关系:β-α=k?360

③以周角为周期:与角α终边相同的角只能表示为α+k?360°,k∈Z，尽管α+k?720°,k∈

名师点睛

1.随意角的概念

（1）用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到随意角，包括随意大小的正角、负角和零角.

（2）对随意角的概念的相识关键是抓住“旋转”二字，①要明确旋转的方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置.

2.象限角的表示

象限角

角的集合表示

第一象限角

{α|k?

其次象限角

{α|

第三象限角

{α|

第四象限角

{α|

互动探究·关键实力

探究点一随意角与象限角的概念

精讲精练

例（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角肯定不是负角；③小于180°

（2）经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是.

答案：（1）①（2）-

解析：（1）锐角是大于0°且小于90

-350

0°角是小于180

360°

（2）钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是负的，而212×360

解题感悟

1.解与角的概念有关的问题的关键

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外须要驾驭推断结论正确与否的技巧，推断结论正确须要证明，而推断结论不正确只需举一个反例即可.

2.象限角的推断方法

（1）依据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.

（2）依据终边相同的角的概念，把角转化到0??

迁移应用

1.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边落在x轴的非负半轴上.请指出下列各角是第几象限角.

（1）-75°；（2）855

答案：（1）

由图①可知，-75

（2）

由图②可知，855°角是其次

（3）

由图③可知，-510

探究点二终边相同的角

精讲精练

例已知α=-1845°，在与α终边相同的角中，求

（1）最小的正角；

（2）最大的负角；

（3）-360

答案：（1）因为-1845°=-45°

所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45

最小的正角为315°

（2）最大的负角为-45

（3）-360°～

解题感悟

（1）终边相同的角都可以表示成α＋k?360??°（k∈

（2）终边相同的角相差360??

（3）终边在同始终线上的角之间相差180??

（4）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90??

迁移应用

1.写出与角α=-1910°终边相同的角的集合，并把集合中满意不等式-720

答案：与角α=-1910°终边相同的角的集合为

因为-

所以-720

所以311

故k=4,5,6，

k=4时，β=-1910

k=5时，β=-1910

k=6时，β=-1910

探究点三区域角的表示

精讲精练

例1（易错题）已知角α的终边落在如图所示的阴影范围内（包括边