数学高考备考讲义第一章集合与命题12.docx

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.

2.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p?q且q?p

p是q的必要不充分条件

p?q且q?p

p是q的充要条件

p?q

p是q的既不充分也不必要条件

p?q且q?p

知识拓展

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

(1)若A?B，则p是q的充分条件；

(2)若A?B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“对顶角相等”是命题.(√)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)

(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(√)

(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.(√)

题组二教材改编

2.[P8T3]下列命题是真命题的是()

A.矩形的对角线相等

B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C.若整数a是素数，则a是奇数

D.命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

答案A

3.[P12T2(2)]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案充分不必要

题组三易错自纠

4.命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()

A.若xy，则x2y2 B.若x≤y，则x2≤y2

C.若xy，则x2y2 D.若x≥y，则x2≥y2

答案B

解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.

5.(2013·浙江)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝eq\f(π,2)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析φ＝eq\f(π,2)?f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx为奇函数，

∴“f(x)是奇函数”是“φ＝eq\f(π,2)”的必要条件.

又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数?f(0)＝0?φ

＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)?φ＝eq\f(π,2).

∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝eq\f(π,2)”的充分条件.

6.已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2x8，x∈R))))，B＝{x|－1xm＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________.

答案(2，＋∞)

解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2x8，x∈R))))＝{x|－1x3}，

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，

∴m＋13，即m2.

题型一命题及其关系

1.下列命题是真命题的是()

A.若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝y

B.若x2＝1，则x＝1

C.若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)

D.若x＜y，则x2＜y2

答案A

2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这