山西省阳泉市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题.docx

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山西省阳泉市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知等差数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C． D．

2．已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（????）

A．2 B． C． D．

3．已知数列的前项和为，且，则（????）

A．188 B．189 C．190 D．191

4．过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

5．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（????）

A． B． C．0 D．

6．已知等比数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C． D．

7．已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（????）

A． B． C．2 D．

8．已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

二、多选题

9．已知直线，则下列选项正确的是（????）

A．当直线与直线平行时，

B．当直线与直线垂直时，

C．直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积的最小值是

D．直线和圆相交于两点，则最小值是4

10．已知双曲线的左顶点为，右顶点为，第一象限的点在上，且点不与点重合，若直线与直线的斜率分别为，则下列命题中正确的是（????）

A．存在点，使

B．存在点，使

C．对任意点，均有

D．对任意点，均有

11．设函数，则（????）

A．是的极小值点 B．

C． D．

三、填空题

12．抛物线的焦点到准线的距离是.

13．已知直线与曲线相切，则.

14．在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：.类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：.已知数列满足：，则.

四、解答题

15．已知等比数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和.

16．已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为.

(1)求点的轨迹方程；

(2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积.

17．如图，在三棱柱中，平面，.

(1)若，求证：平面；

(2)若二面角的余弦值为，求的值.

18．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上.

19．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.

(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；

(2)当时，求证：；

(3)求证：.

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《山西省阳泉市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

B

A

D

B

A

C

AD

BC

题号

11

答案

ABD

1．C

【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算可得的值.

【详解】因为等差数列的前项和为，且，

则，所以.

故选：C.

2．D

【分析】根据双曲线渐近线的倾斜角的关系可求两条渐近线的倾斜角，结合离心率公式可得答案.

【详解】双曲线的两条渐近线方程分别为，易知.

又，解得.所以，

所以的离心率为.

故选：D.

3．B

【分析】由通项公式结合分组求和、等差数列前项和公式即可求解；

【详解】因为

，

所以.

故选：B.

4．A

【分析】根据给定条件，可得点在圆外，由此列出不等式求出范围.

【详解】依题意，得点在圆外，则，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：A

5．D

【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值.

【详解】由，即，即，

所以是常数，

当时，，所以，

当时，，得.

故选：D

6．B

【分析】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解．

【详解】设，则，

因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为，

所以，即，

所以.

故选：B.

7．A

【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解．

【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第