山东省天一大联考—齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期开学质量检测数学试卷.docx

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山东省天一大联考—齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期开学质量检测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．在复平面内，对应的点位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限` D．第四象限

3．若椭圆C：的离心率为，则（???）

A．3 B．2 C． D．

4．设等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则（????）

A．3 B．2 C． D．

5．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（????）

A． B． C． D．

6．已知，，则（????）

A．10 B．8 C．6 D．4

7．已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

8．墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．新能源汽车具有环保、效率高、使用成本低等优点，国家对新能源汽车提供了多种政策支持．有7种新能源汽车在2024年12月的销售量（单位：千辆）如下：31，6，12，19，17，16，11，则该组数据的（???）

A．极差为27 B．75%分位数为19

C．平均数为16 D．中位数为16

10．已知点到点的距离与点到y轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线C，则（????）

A．当时，由抛物线和x轴的负半轴构成

B．当时，关于原点中心对称

C．当时，为轴对称图形

D．当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形

11．将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中O为中间六边形的中心，且．设点是图中所有正六边形中的任意一个顶点，则下列结论中正确的是（????）

A．

B．存在，使得

C．若，则的所有取值的和为

D．若，则的取值集合为

三、填空题

12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则．

13．已知函数的图象关于点对称，则．

14．某校为弘扬“顽强拼搏的马拉松”精神，举办了5千米长跑比赛，若包含甲、乙在内的共6名同学进入了决赛，通过赛后成绩得知，其中没有名次并列的情况，甲不是第一名，且甲和乙的名次之差的绝对值为2．（1）若甲的名次为偶数，则这6名同学的名次排列情况共有种；（2）甲和乙的名次之和为10的概率为.

四、解答题

15．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的最值．

16．在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．

(1)从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；

(2)从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．

17．已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，过点的直线与的右支交于两点．

(1)求的方程；

(2)证明：直线与的斜率之比为定值．

18．如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O．

(1)求圆柱的高；

(2)证明：；

(3)若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．

19．将数列，，，，…，，（其中在前面，）称为数列，，…，，，，…，的“第1次重排数列”，照此规律，将数列，，…，，，，…，进行n次重排后得到的数列称为“第n次重排数列”．例如，数列，，，的第1次重排数列是，，，；第次重排数列是，，，．

(1)直接写出数列，，，，，，，的第，，次重排数列．

(2)若递增数列，，…，，，，…，共含有项，且．

（i）设该数列的第项在下一次的重排数列中为第项，求关于和的关系式；

（ii）将该数列的第次重排数列记为，，…，，，，…，，猜想该数列与原数列有什么关系，并利用你猜想的结论证明：．

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