吉林省长春市第二中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题.docx

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吉林省长春市第二中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若函数的定义域为，值域为，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则（）

A． B．1 C．2 D．

3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．已知向量，，若，则在上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

5．若函数（，且）的图象恒过定点A，角的终边也过点A，则（）

A． B． C． D．

6．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（????）

A． B． C．1 D．0

7．在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．若随机事件满足，则（????）

A． B．

C． D．

10．如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点，则（????）

A．点到直线的距离为

B．直线与直线所成的角为

C．点到平面的距离为

D．直线与平面所成角的正弦值为

11．如图，已知点在抛物线：上，为的焦点，且，圆：，直线：交于点，，过，分别作的切线，，与相交于点，为上一点，（）为圆上一点，则（???）

A．的准线方程为 B．为直角三角形

C．点在定直线上 D．周长的最小值为

三、填空题

12．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数．

13．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则．

14．已知分别为双曲线的左、右焦点，为的左支上一点，直线与的右支交于点，且．若，则的离心率为．

四、解答题

15．在中，角的对边分别为．

(1)求；

(2)若为边上一点，且的面积为，证明：．

16．在边长为2的正方形中，将沿折起，使平面平面，如图所示，分别是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

17．动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．

(1)求的方程；

(2)已知直线与交于两点，为的中点．

①求实数的取值范围；

②证明：点在定直线上．

18．已知函数．

(1)讨论的极值点个数；

(2)证明：，；

(3)若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：．

19．若数列满足：存在正常数，对恒成立，则称是“有上界数列”，称为数列的“上界”．

(1)已知是数列的前项和，试判断是否是“有上界数列”？若是，请求出其“上界”的最小值；若不是，请说明理由；

(2)已知是首项为1024，公比为的等比数列，记是的前项积，证明：是“有上界数列”；

(3)设是公差为的等差数列，是首项为正数，公比为的等比数列，试求是“有上界数列”的充要条件．

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《吉林省长春市第二中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

A

B

C

B

C

D

AD

BCD

题号

11

答案

BCD

1．D

【分析】求函数的定义域和值域，再求即可.

【详解】由有意义可得，

所以，

所以，

所以函数的定义域，

由，可得，

所以函数的值域

所以.

故选：D.

2．A

【分析】结合复数运算法则求的代数形式，再求其模.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：A.

3．A

【分析】根据分段函数的单调性，可得每段函数递减，且分界点也递减，列出不等式即可求解.

【详解】

因为函数在上单调递减，

所以，解得.

故选：A.

4．B

【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用投影向量的意义求解即可.

【详解】由向量，，得，

由，得，解得，，，

所以在上的投影向量为.

故选：B

5．C

【分析】利用指数函数过定点问题求出点坐标，再利用三角函数定义、诱导公式及二倍角的正弦公式计算得解.

【详解】函数的图象过定点，则，

所以.

故选：C

6．B

【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值.

【详解】由图知，则，

由，则，可得，

又，则，故，

由题意，故.

故选：B

7．C

【分析】根据正四棱台的结构特征