2024_2025学年新教材高中数学第4章对数运算和对数函数4指数函数幂函数对数函数增长的比较学案北师大版必修第一册.docVIP

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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标

核心素养

结合现实情境中的详细问题，利用计算工具，比较对数函数、幂函数、指数函数增长速度的差异．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(重点、难点)

1．通过三种函数的增长特征的实际应用，培育数学建模素养．

2．通过三种函数增长快慢的比较，培育直观想象素养.

1．当a1时，函数y＝ax的增长速度与a的大小有什么关系？

2．当a1时，函数y＝logax的增长速度与a的大小有什么关系？

3．当x0，n1时，函数y＝xn的增长速度与n的大小有什么关系？

1．三种函数的增长趋势

y＝ax(a1)

y＝logax(a0)

y＝xα(α0)

在(0，＋∞)

上的增减性

增函数

图象的变

化趋势

随x增大，近似与y轴平行

随x增大，近似与x轴平行

α值较小(α1)，增长较慢；α值较大(α1)时，增长较快

增长速度

①随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快

②随x增大，y＝logax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax增长速度越慢

③当x足够大时，肯定有axxαlogax

2．当底数a1时，由于指数函数y＝ax的值增长特别快，人们称这种现象为“指数爆炸”．

举例说明“指数爆炸”增长的含义．

[提示]如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当xx0时，数量增加特殊快，足以体现“爆炸”的效果．

1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)线性函数模型y＝kx＋b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．()

(2)指数函数模型y＝ax(a1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快．()

(3)对数函数模型y＝logax(a1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．()

[答案](1)√(2)√(3)√

2.下图反映的函数的增长趋势是()

A．一次函数 B．幂函数

C．对数函数 D．指数函数

C[从图象可以看出这个函数的增长速度越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．]

3.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x改变的数据如下表：

x

1

5

10

15

20

25

30

y1

2

26

101

226

401

626

901

y2

2

32

1024

32768

1.05×106

3.36×107

1.07×109

y3

2

10

20

30

40

50

60

y4

2

4.322

5.322

5.907

6.322

6.644

6.907

关于x呈指数型函数改变的变量是________．

y2[以爆炸式增长的变量是呈指数型函数改变的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2起先改变，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)可知变量y2关于x呈指数型函数改变．]

类型1指数函数、对数函数、幂函数图象的比较

【例1】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.

(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2020)，g(2020)的大小．

[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，

∴f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)．

∴1x12,9x210.

∴x18x22020.

从图象上知，当x1xx2时，f(x)g(x)；

当xx2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(2020)g(2020)g(8)f(8)．

底数大于1的指数函数模型和幂指数大于1的幂函数模型都是增函数，增长的快慢交替出现，从这个实例我们可以体会到幂函数增长，指数爆炸等不同函数模型增大的含义．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()

A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝eq\r(x)，d：y＝2－x

B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝eq\r(x)

C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝eq\r(x)，d：y＝2－x

D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝eq\r(x)

C