高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线的定义和标准方程（1）说课稿 湘教版选修1-1.docx

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的定义和标准方程（1）说课稿湘教版选修1-1

一、教学内容

本节课教学内容为湘教版选修1-1高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1节双曲线的定义和标准方程。本节课主要介绍双曲线的定义及其标准方程，包括双曲线的几何特征和方程的推导过程。通过本节课的学习，学生将掌握双曲线的基本概念和方程形式，为后续学习双曲线的性质和应用打下基础。

二、核心素养目标分析

本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过学习双曲线的定义和标准方程，学生能够从几何直观中抽象出数学模型，发展数学抽象能力；通过推导方程的过程，锻炼逻辑推理和数学建模能力；通过图形的观察和方程的运用，培养直观想象和数学运算能力。同时，通过解决实际问题，提升学生应用数学知识解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点

1.教学重点

①理解双曲线的定义，特别是双曲线的几何特征，如渐近线和实轴、虚轴的关系。

②掌握双曲线的标准方程，包括其实际应用和方程参数的意义，如a、b、c之间的关系。

③能够根据双曲线的定义和标准方程，绘制双曲线的图像，并分析其几何性质。

2.教学难点

①双曲线定义的抽象理解，尤其是如何从几何直观过渡到数学表达。

②双曲线标准方程的推导过程，涉及二次方程的解法，学生可能难以理解参数a和b的几何意义。

③应用双曲线方程解决实际问题，包括如何根据实际问题选择合适的方程形式，以及如何解释方程中的参数。

④在实际操作中，学生可能难以精确地画出双曲线的渐近线，需要通过练习提高作图技能。

四、教学方法与手段

教学方法：

1.讲授法：通过清晰讲解双曲线的定义、性质和标准方程，帮助学生建立初步的概念体系。

2.讨论法：引导学生讨论双曲线图像的特点，以及方程参数的物理意义，培养学生的分析能力和合作精神。

3.实验法：利用图形软件或实物模型，让学生动手绘制双曲线，加深对双曲线直观性的理解。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示双曲线的定义、方程和图像，提高教学的直观性和趣味性。

2.实物投影：通过实物投影仪展示双曲线模型，帮助学生直观理解双曲线的几何特征。

3.互动平台：利用在线教学平台，开展实时互动，提高学生参与度和课堂效率。

五、教学过程

一、导入新课

（老师）同学们，我们上节课学习了圆锥曲线的基本概念，了解了椭圆的一些基本性质。今天，我们将继续探索圆锥曲线的世界，来认识另一种特殊的曲线——双曲线。同学们，你们对双曲线有什么样的认识呢？

（学生）老师，我知道双曲线看起来像两边的翅膀向两边无限展开的曲线。

（老师）很好，你对双曲线有一个直观的认识。接下来，我们将通过学习双曲线的定义和标准方程，深入理解双曲线的几何特征。

二、新课讲授

1.双曲线的定义

（老师）首先，我们来看双曲线的定义。根据课本，双曲线可以定义为：平面内与两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

（老师）同学们，这里的“固定点”就是焦点，“常数”就是双曲线的实轴长度的平方除以焦距的平方的平方根。请大家跟读一遍双曲线的定义。

（学生）平面内与两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

（老师）非常好，接下来，我们通过一个简单的例子来理解这个定义。

（老师）假设我们有两个焦点F1和F2，它们的距离是2c，现在我们取一个点P，它到F1的距离是d1，到F2的距离是d2。如果d1和d2的差的绝对值是一个常数2a，那么点P就位于一条双曲线上。

（老师）现在，让我们来画一条双曲线。请大家跟我一起画。

（学生）同学们，请准备好纸和笔，按照老师的指示来画一条双曲线。

（老师）好的，画完之后，请思考一下，这条双曲线有什么特点？

（学生）这条双曲线的两边是无限展开的，看起来像两个翅膀。

（老师）很好，这就是双曲线的一个显著特点。

2.双曲线的标准方程

（老师）接下来，我们来看双曲线的标准方程。根据课本，双曲线的标准方程是x2/a2-y2/b2=1或者y2/a2-x2/b2=1。

（老师）这里的a和b分别表示双曲线的实轴和虚轴的长度。请同学们跟读一遍双曲线的标准方程。

（学生）x2/a2-y2/b2=1或者y2/a2-x2/b2=1。

（老师）现在，我们来推导一下双曲线的标准方程。首先，我们知道双曲线的焦距是2c，所以c2=a2+b2。

（老师）接下来，我们利用双曲线的定义，即两个焦点到任意点的距离之差的绝对值等于常数2a，来推导方程。

（老师）请大家打开课本，我们一起推导双曲线的标准方程。

（学生）同学们，请跟老师一起推导方程。

（老师）推导完毕，我们现在有了双曲线的标准方程。请同学们记住这个方程，它是双曲线几何特征的重要数学表达。

三、课堂练习