余弦定理教学设计.docx

?一、教学目标

1.知识与技能目标

-学生能够理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的两种表示形式。

-学生能够运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题：已知三边求三角；已知两边及其夹角求第三边。

2.过程与方法目标

-通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

-体会从特殊到一般、类比等数学思想方法在知识形成过程中的作用，提高学生的数学素养。

3.情感态度与价值观目标

-让学生在探究过程中感受数学的严谨性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

-通过合作学习，增强学生的团队合作意识，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点

1.教学重点

-余弦定理的推导及理解。

-余弦定理的应用。

2.教学难点

-余弦定理的向量法推导过程。

-灵活运用余弦定理解决各种解三角形问题。

三、教学方法

1.讲授法：讲解余弦定理的基本概念、推导过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。

2.探究法：引导学生通过自主探究、小组合作等方式，探索余弦定理的推导思路，培养学生的探究能力和创新思维。

3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用余弦定理解决实际问题的能力。

四、教学过程

（一）创设情境，导入新课

1.展示一个三角形的框架，提出问题：如果已知三角形的三条边长，能否求出三个内角的大小？如果已知三角形的两边及其夹角，能否求出第三边的长度？

2.引出课题：余弦定理，它将帮助我们解决这些问题。

（二）知识探究

1.特殊三角形情况

-首先考虑直角三角形，已知直角三角形的三边\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为斜边），根据勾股定理\(c^2=a^2+b^2\)，对于直角三角形中的锐角\(A\)，根据三角函数的定义\(\cosA=\frac{b}{c}\)，则\(b=c\cosA\)，\(a=c\sinA\)。

-对\(a^2=c^2-b^2=c^2-c^2\cos^2A=c^2(1-\cos^2A)=c^2\sin^2A\)，同理\(b^2=c^2-a^2=c^2-c^2\sin^2A=c^2\cos^2A\)。

-引导学生思考，对于一般三角形，这些关系是否依然成立。

2.向量法推导余弦定理

-已知\(\triangleABC\)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}\)，且\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\)。

-则\(\overrightarrow{c}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)，两边平方可得\(\overrightarrow{c}^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2\)。

-展开得\(\vert\overrightarrow{c}\vert^2=\vert\overrightarrow{a}\vert^2+\vert\overrightarrow{b}\vert^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。

-根据向量数量积的定义\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos(\pi-C)=-\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cosC\)。

-所以\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)。

-同理可推导出\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)，\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\)。

3.余弦定理的表示形式

-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦