【含答案解析】冲刺2025年高考数学大题突破数列（十一大考点训练+真题模拟题练）.docxVIP

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

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解答02数列

【考点01等差等比数列】

【例1】在数列中，，．

(1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【详解】（1），又，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴．

（2）由（1）知，则，

∴，

①，

②，

①②，得

，

∴．

【例2】在数列中，

(1)证明：数列是等比数列．

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【详解】（1）由得，，

所以数列为首项为1，公比为3的等比数列.

（2）由（1）得，则，

.

【变式1-1】设正项数列的前项和为，满足（）.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）当时，，整理，又，所以.

，，，

，.

，数列为等差数列，首项为2，公差为4.

（2）由（1）得：，，，.

由求根公式可知，..

【变式1-2】已知为等差数列，数列满足.

(1)若，，求数列的前项和；

(2)若数列是首项为9的等比数列，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【详解】（1）因，所以，，

设的公差为，所以，

所以，，

于是，其前项和，

所以.

（2）由为等差数列，设，则，

所以，，，

因数列是首项为9的等比数列，所以，且，

解得或，

当时，，数列的前项和；

当时，，，数列的前项和.

【变式1-3】已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．．

(1)求的通项公式；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设的公差为．

可得．

由，

解得.

所以．

（2）

．

【考点02累加累乘法】

【例3】已知数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题意知：当时，，

；

当时，满足；

综上所述：.

（2）由（1）知：，

.

【例4】已知数列满足：，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，若，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）因为，

所以当时，，…，，，

上述各式相加得，

又，所以，

又满足上式，故.

（2）由（1）得，

所以，

所以数列的前n项和

，

即.

【变式2-1】已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由，则

，，…，又，

累加可得.

（2）由（1），则，故

【变式2-2】记为等差数列的前n项和，已知，

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，，求的通项公式.

【答案】(1)；

(2)

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

因为，，

解得，，

故的通项公式为；

（2）由题意，可得，

当时，

，

当时，也成立，

所以的通项公式为

【变式2-3】已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．

(1)求的值；

(2)记为数列的前n项和，求．

【答案】(1)0

(2)

【详解】（1）因为和是方程的两个根，

由韦达定理可知，，

因此．

所以，，，…，，

由累加法得．又因为，所以，因此．

（2）由，可知，

而数列的偶数项为公差为的等差数列，

因此，

因此，因此．

【考点03Sn与an求通项公式】

【例5】设等差数列的前n项和为，且，（为常数）

(1)求a的值；

(2)求的通项公式；

(3)若，求数列的前n项和

【答案】(1)0

(2)

(3)

【详解】（1）当时，，

当时，，

因为是等差数列，则时也应满足，即，

又，所以，解得；

（2）由（1）得

（3），

【例6】已知正项数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)数列满足，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，

当时，，解得，

当时，，

两式作差得，

则，

因为，所以，，

所以是以2为首项，2为公差的等差数列，；

（2）由（1）知，

，

所以

.

【变式3-1】数列满足：．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【详解】（1）令

又①

②

由①②得到

即：，

经检验，也成立，故数列的通项公式

（2）

因为是单调递增数列，且

若恒成立，则，解得或，

实数的取值范围为或．

【变式3-2】已知正项数列的前n项和为，满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）∵，

当时，，

∴两式相减并化简得，

又，则；

当时，，

即，∴，

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴.

（2）证明：由（1）得，，

又，则，

则

.

【变式3-3】已知数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列