【权威 北京专用 含答案解析】冲刺2025高考数学大题突破培优专题02立体几何.docxVIP

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培优专题02立体几何

题型1利用向量研究平行问题

利用向量研究平行问题，实质是研究一个平面的法向量与另一条线的关系，解题的思路是：

1、求平面向量的法向量

求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出．

巧用结论

线线平行：设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．

线面平行：线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．

面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．

②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．

3、几何法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a?β，a∥α?a∥β）．

1．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，.

(1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明；

(2)若面面；求：

（ⅰ）平面与平面CEF所成角的大小；

（ⅱ）求点A到平面CEF的距离.

【答案】(1)与平面不平行，证明见解析(2)（i）；（ii）

【分析】（1）取中点，证明，假设平面，根据线面平行性质定理证明，推出矛盾，可得结论；

（2）（i）证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角，（ii）利用向量方法求点到平面距离.

【详解】（1）不平行于平面，理由如下：

取中点，

因为，所以

则四边形为平行四边形，所以，

又，所以不平行于，

假设平面，

因为平面平面，平面

所以，与不平行于矛盾，

所以假设不成立，即不平行于平面；

（2）取中点，连接

因为菱形，

所以为正三角形，又为中点，所以，

由于，所以，

又面面，面面，面

所以面，因为面，所以

又因为，面，

所以面，而面，所以，

所以如图，以为原点，所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则

（i）因为面，所以为平面的一个法向量

设平面的法向量为，因为

所以，令，

设平面与平面所成角为，

所以，则

即平面与平面所成角大小为；

（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为

所以点到平面的距离为.

2．（2024·北京·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，．

(1)设平面平面，求证：；

(2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定．

（ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值；

（ⅱ）平面交直线于点，求线段的长度．

条件①：平面平面；

条件②：；

条件③：四棱锥的体积为．

【答案】(1)证明见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.

【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得.

（2）选条件①③或②③，证明底面，求出，（ⅰ）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出面面角；（ⅱ）令，利用垂直关系的向量表示求出即可.

【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，则，

而平面平面，于是平面，

又平面，且平面平面，所以.

（2）选条件①③，平面平面，四棱锥的体积为，

连接和交于点，连接，显然是中点，由，得，

而平面平面，平面，底面，

，，解得，

选条件②③，，四棱锥的体积为，

连接和交于点，连接，显然是中点，由，得，

又是中点，由，得，而平面，则，底面，

，，解得，

若选条件①②，平面平面，，此2条件均可证明底面，

点的位置不确定，即四棱锥存在，但不唯一，因此条件①②不可选.

（i）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，

所以，

设平面的法向量为，则，令，得，

平面的法向量为，因此，

所求平面与平面所成角的余弦值为.

（ii）平面交线段于点，由（i）知，，

设，则，

由，得，所以.

3．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点.再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选