2025年中考数学专题复习：直角三角形问题（含解析） .pdf

直角三角形问题

一阶方法突破练

1如图，在正方形网格中有格点A,B,在所给网格中确定格点C,使得△ABC是以AB为直角边的直角三角

形.

第1题图

2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A(3,0),B(0,4),点P为y轴上一点,当△PAB为

第2题图

3如图，已知抛物线y=按-孔-5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.若在抛物线上存在一点P,使

得△BCP是以BC为直角边的直角三角形，求出点P的坐标.

第3题图

二阶设问进阶练

例已知抛物线L:y=-普、2+*+4与x轴交于点人(一2,0)3(4,0),与y轴交于点C,顶点为D.

(1)如图①，若点E是y轴上一点，且.=90。,,求点E的坐标；

A/pB\

例题图①

(2)如图②，连接BD，在x轴上是否存在一点G,使得△BDG为直角三角形?若存在,求出点G的坐标；若不

存在，请说明理由；

A/\OB\x

0B

例题图②

(3)如图③，连接AC,在抛物线的对称轴上存在一点F,使得△刀CF是以AC为直角边的直角三角形，求出点

F的坐标；

y\d

a/o

例题图③

(4)如图④,点N是第一象限抛物线上的一点，连接AN,若点N到x轴的距离为d,点C关于x轴的对称点

为C。直线BC，上是否存在一点H,使得.△刀NH为直角三角形，且玳△4NH的面积为3d,若存在,请求出点H

的坐标；若不存在，请说明理由；

(设问源自2022遂宁中考)

例题图④

(5)如图⑤，将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线.〃与原抛物线交于点C.记新抛物线的顶点为,连

接A,在y轴上是否存在一点Q,使得△刀Q为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在,请说明理

由.

例题图⑤

综合强化练

1.创新题•规律探究如图，已知抛物线Cn-yn=-^x2+x+2n（n为正整数）与x轴交于屉伽，0）两点（点

伺在点如的左侧）.

（1）抛物线y2y2的顶点坐标为—；抛物线yn的顶点坐标为（用含n的代数式表y口___________示）；

（2）求证:=XI?]_iX[?]_2；

（3）若设抛物线（C列的顶点坐标为P叽是否存在n使得△’P伺如是直角三角形，若存在，请求出n的值；若

不存在，请说明理由.

作图区答题区

2如图，抛物线y=ax2+bx+3(a0)与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C,OB=

OC,抛物线的对称轴1为直线.x=1.

⑴求a,b的值；

(2)点P为抛物线的对称轴上一点，连接AC,CP,AP，当△4CP的周长最小时，求点P的坐标；

(3)(y轴上的动点)在⑵的条件下，在y轴上是否存在一点Q,使得以A,P,Q为顶点的三角形为直角三角形?

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图②

3如图，抛物线y=ax2+bx+3(a0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直线BC的解析式为

y=-+3,且AB=CB,点是线段BC的中点，连接AC,A.

4

(1)求抛物线的解析式;

(2)创新题•重叠图形面积关系将△AC沿x轴向右平移m(0m§个单位长度得到

△分别与BC交于点Q,N,设△刀如与左ArCrMr重叠部分的面积为S,求S

关于m的函数关系式；

⑶(直线上的动点)在(2)的条件下，若S=导试探究在直线CW上是否存在点P,使得△ACP

为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

作图区答题区

第3题图

备用图②

考向2直角三角形问题

_阶方法突破练

L解：格点C的位置如解图所示.

第1题解图