人教版新课程标准高中数学必修二8.3 简单几何体的表面积与体积 (37)教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

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2025-03-23 发布于山东
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人教版新课程标准高中数学必修二8.3 简单几何体的表面积与体积 (37)教学课件幻灯片PPT.pptx

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神奇的祖暅原理;人物简介：

祖暅：5世纪——6世纪，字景烁，祖冲之之子，范阳郡遒县（今河北省涞水县）人，中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式，并据此提出了著名的“祖暅原理”。;原理简述：

祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”。这就是著名的“祖暅原理”。“势”就是高，“幂”是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为：

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。;如图，夹在平行平面间的几个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这几个几何体的体积一定相等。;这个原理浅显易懂。例如，一摞硬币堆放在桌面上，当改变它堆叠的形状时，硬币堆的高度不变，每个硬币的面积也没有变，所以它的体积也是不变的。;由祖暅原理，我们可以将柱体和椎体的体积公式统一起来，即

其中S是柱体（椎体）的底面积，h是柱体（椎体）的高。

;从公式形式上看，我们可以理解为：一个椎体的体积，是它同底等高的柱体的体积的三分之一。

如图，可以将三棱柱分解为三个体积相等的三棱锥，其中三棱锥1和3与三棱柱同底等高。;按照这样的思路继续发散思维，我们知道球的体积为，而同底（底面半径为R）等高的圆柱和圆锥的体积差为

如果我们让此时的圆柱和圆锥的高也等于R的话，就得到了。

;而且，这个想法是可以通过祖暅原理来验证的。

如图：将底面半径与高均与半球（几何体（1））半径相等的圆柱中挖去一个倒置的同底等高的圆锥，得到几何体（2），用平行于底面的平面同时去截两个几何体时，得到的截面面积相等，所以，两个几何体的体积相等。;在GeoGebra中进行动态演示，效果如下：;你能给出两个截面面积相等的证明吗？;知识回顾??（选择合适的词填空）;谢谢观看，再见！