山东省青岛第五十八中学2024~2025学年高三下学期开学考试数学试卷.docx

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山东省青岛第五十八中学2024~2025学年高三下学期开学考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数（其中是虚数单位），则（???）

A．2 B．1 C． D．

3．“数列为等差数列”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．抛物线的准线方程是（???）

A． B． C． D．

5．已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（????）

A． B． C． D．

6．已知，，，则mn的最小值为（????）

A．10 B． C． D．

7．在中，内角所对的边分别为，已知，则（???）

A． B． C． D．

8．已知函数为定义在上的增函数，则的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知，则下列结论一定正确的是（???）

A． B．

C． D．

10．某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，则（????）

A．

B．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50

C．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

11．如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（????）

A．，，，四点共面

B．该几何体的体积为

C．过四点，，，四点的外接球表面积为

D．截面四边形的周长的最小值为

三、填空题

12．设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，则．

13．甲、乙两人先后抛掷同一枚骰子，甲先抛1次，乙再抛1次，看作1次操作，然后重复上面的操作．若某次操作甲、乙抛掷向上点数之差的绝对值大于3，记本次操作无效，若连续两次操作无效，则停止抛掷骰子，则4次操作后停止抛掷骰子的概率为．

14．已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，满足，则该双曲线的离心率为．

四、解答题

15．已知函数.

(1)求的最大值及相应的取值集合；

(2)设函数，若在区间上单调递增，求的取值范围.

16．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点

??

(1)证明：平面；

(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.

17．平面上，动点到直线和的距离分别为和，且，记点的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)过点的直线与相交于M，N两点，若在轴上存在点，使得为正三角形，求直线的方程.

18．某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况．

星期t

1

2

3

4

5

销售量y（张）

218

224

230

232

236

经计算可得：，，．

(1)已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程；

(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为．

①求、及；

②求及的最值．

参考公式：，．

19．已知函数的定义域为，区间，若，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集．

(1)求函数在上的不动点集；

(2)若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围；

(3)若函数在上的不动点集为，求的取值范围.

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《山东省青岛第五十八中学2024~2025学年高三下学期开学考试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

A

C

B

C

B

A

AB

ACD

题号

11

答案

AC

1．B

【分析】解不等式可得集合，进而进行集合间的运算.

【详解】由题意可得或，

则，

，

故选：B.

2．C

【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式求解即可.

【详解】因为，则，

所以.

故选：C.