2025届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案理含解析北师大版.docVIP

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第三节简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词

命题分析预料

学科核心素养

从近五年的考查状况来看，高考对本节内容重点考查：（1）全（特）称命题的否定；（2）含有逻辑联结词的命题、全称命题、特称命题的真假推断，以选择题为主，属于基础题.

本节主要以不等式、三角函数、向量等学问为载体，结合逻辑联结词和全（特）称量词考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.

授课提示：对应学生用书第8页

学问点一简洁的逻辑联结词

（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

（2）命题p且q、p或q、非p的真假推断

p

q

p且q

p或q

非p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

?温馨提示?

1.真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假.

2.“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.

1.已知p：2是偶数，q：2不是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为（）

A.1 B.2

C.3 D.4

解析：p真，q假，所以非q和p或q真.

答案：B

2.（2024·陆川模拟）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是（）

A.“p或q”为真命题 B.“p且q”为真命题

C.“非p”为真命题 D.“非q”为假命题

解析：由a＞|b|≥0，得a2＞b2，∴命题p为真命题.∵x2＝4?x＝±2，∴命题q为假命题.∴“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题，“非q”为真命题.综上所述，应选A.

答案：A

学问点二全称命题与特称命题

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词：短语“全部的”“随意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题Ｗ.

（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题Ｗ.

2.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

随意x∈M，p（x）

存在x∈M，非p（x）

存在x∈M，p（x）

随意x∈M，非p（x）

?温馨提示?

1.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错.

2.留意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.

3.留意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.

1.命题“随意x∈R，x2＋x≥0”的否定是（）

A.存在x∈R，x2＋x≤0

B.存在x∈R，x2＋x＜0

C.随意x∈R，x2＋x≤0

D.随意x∈R，x2＋x＜0

解析：原命题是全称命题，“随意”的否定是“存在”，“≥”的否定是“＜”，因此该命题的否定是“存在x∈R，x2＋x＜0”.

答案：B

2.（2024·辽源模拟）下列命题中的假命题是（）

A.存在x∈R，使得log2x＝0

B.随意x∈R，x2＞0

C.存在x∈R，使得cosx＝1

D.随意x∈R，2x＞0

解析：由于log21＝0，因此存在x∈R，使得log2x＝0为真命题；当x＝0时，x2＝0，因此随意x∈R，x2＞0为假命题；当x＝2π时，cosx＝1，因此存在x∈R，使得cosx＝1为真命题；依据指数函数的性质，随意x∈R，2x＞0为真命题.

答案：B

3.（易错题）若p：随意x∈R，ax2＋4x＋1＞0是假命题，则实数a的取值范围为__________.

答案：（－∞，4]

授课提示：对应学生用书第9页

题型一全称命题与特称命题的否定

1.（2024·西安模拟）命题“随意x＞0，eq\f(x,x－1)＞0”的否定是（）

A.存在x＜0，eq\f(x,x－1)≤0

B.存在x＞0，0≤x≤1

C.随意x＞0，eq\f(x,x－1)≤0

D.随意x＜0，0≤x≤1

解析：因为eq\f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq\f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1.

答案：B

2.已知命题p：存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则非p为（）

A.存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

B.随意m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

C.存在m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

D.随意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

解析：由特称命题的否定可得非p为“随意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”.

答案：D

3.已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：随意f（x）∈A，|f（x）|∈B，则非p为（）

A.随意f（x）∈A，|f（x）|?B

B.随意f（x）?A，|f（x）|?B

C.存在f（x）