2024_2025学年高中数学第三章三角恒等变换1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一课时练习含解析新人教A必修4.docVIP

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两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

(15分钟30分)

1.函数f(x)=sinx-cosx+的值域为 ()

A.[-2,2] B.[-,]

C.[-1,1] D.

【解析】选B.f(x)=sinx-cos

=sinx-cosx+sinx=sinx-cosx

=sin,所以函数f(x)的值域为[-,].

2.在△ABC中,A=,cosB=,则sinC等于 ()

A. B.- C. D.-

【解析】选A.由题意知,sinB=,则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=

sinAcosB+cosAsinB=×+×=.

3.已知钝角α,β满意cosα=-,sin(α-β)=-,则cosβ等于 ()

A. B.- C. D.-

【解析】选B.因为α,β为钝角,所以-α-β.

因为cosα=-,所以sinα=.

又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=,

所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=×+×=-.

4.函数y=sin+sin的最小值为 ()

A. B.-2 C.- D.

【解析】选C.因为y=sin+sin=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos-cos2xsin=sin2x,所以所求函数的最小值为-.

5.已知cosα=,sin(α-β)=,且α,β∈.

求cos(2α-β)的值.

【解析】因为α,β∈,

所以α-β∈,又sin(α-β)=0,

所以0α-β,由题意得,sinα==,

cos(α-β)==,

cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]

=cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β)

=×-×=.

(20分钟40分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2024·海口高一检测)在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形态肯定是 ()

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

【解析】选C.2cosBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.又A、B是△ABC的内角,所以A-B=0,即A=B.

2.已知f(x)=sin-cos,则f(1)+f(2)+…+f(2019)的值为 ()

A.2 B. C.1 D.0

【解析】选A.f(x)=sin-cos

=2sin=2sinx,所以周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2019)=f(2017)+f(2018)+f(2019)=f(1)+f(2)+f(3)=2.

3.若α为锐角,sin=,则cosα的值等于 ()

A. B.

C. D.

【解析】选D.因为α为锐角,sin=,

所以cos=.所以cosα=cos

=coscos-sinsin

=×-×=.

4.函数f(x)=cosx(1+tanx)的最小正周期为 ()

A.2π B.π C.π D.π

【解析】选A.f(x)=cosx

=cosx·=2

=2cos,所以最小正周期T=2π.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2024·聊城高一检测)若cos(α+β)=,cos(α-β)=,

则tanαtanβ=.?

【解析】将cos(α+β)=,cos(α-β)=按两角和与差的余弦公式绽开,相加减可得:

sinαsinβ=,cosαcosβ=,所以tanαtanβ=.

答案:

6.函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.?

【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx

=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ),-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.

答案:1

【补偿训练】

已知cos=-,则cosx+cosx-的值为.?

【解析】cosx+cos=cosx+cosx+sinx

=cosx+sinx=

=cos=-1.

答案:-1

三、解答题

7.(10分)已知cosα=(α为第一象限角),求cos+α,sin的值.

【解析】因为cosα=,且α为第一象限角,

所以sinα===.

所以cos=coscosα-sinsinα

=×-×=.

sin=cos

=cos=.