2025高考二轮模拟冲刺 数学（上海卷）（参考答案）.docx

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2025年高考第二次模拟考试

高三数学（上海卷）·参考答案

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.2.3.2.4.-1

5.816.．7.-68.2

9.10.11.12.

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13

14

15

16

D

A

A

B

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）

17.（1）函数是奇函数，

当时，，则，

当时，，

当时，，则，

因此，恒有成立，

所以函数是奇函数.……（7分）

（2）当时，单调递减，当时，单调递减，又，

因此函数在上单调递减，，

由对所有恒成立，得，即，

令，依题意，任意，，

于是，解得，

所以实数的取值范围是.……（7分）

18.（1）

连接，由已知，，且，

∴四边形为菱形，∴，

在圆锥中，∵平面，平面，

∴．

∵，平面，平面，

∴平面．

又∵平面，

∴平面平面．……（7分）

（2）

取中点，易知平面，，

以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

∵，∴，

∴，

∴，．

设平面的一个法向量为．

因为所以，令，则，，

∴，

易知平面即平面，∴平面的一个法向量为，

设平面与平面的夹角为，

则，

∴平面与平面的夹角的余弦值为．……（7分）

19.（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平，

计算，而，

的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果.……（7分）

（2）的所有可能取值为0，1，2，

，

所以的分布列为，

它的期望为，

它的方差为.……（7分）

20.（1）解：由题可知，周长为8，

由椭圆的定义，可知的周长等于，

则，所以，

又，所以，，

因此椭圆的方程为.……（6分）

（2）解：依题意，直线的方程为，

与椭圆方程联立，整理得：，

由韦达定理：，，

.……（6分）

（3）解：设直线的方程为，，，

直线与椭圆方程联立，

整理得：，

由韦达定理：①，②，

因为，

所以，

即，由，，

得：，

所以，

又，不妨设，所以，，

代入，所以，

所以，整理得，

代入①②，计算得，

所以直线的方程为或.……（6分）

21.（1）由于数列的各项均不为，

所以，可变形为（是正整数），

所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，

又，也符合上式，所以.……（6分）

（2）（i）先证：.

根据已知，得

由当且仅当时等号成立，

于是在上是严格增函数，故成立.

再证：.

又，记，则，

由，故且仅当时等号成立，

于是在上是严格减函数，

故，于是，证毕.……（6分）

（ii）由题意知，，

下面研究.将（i）推广至一般情形.

，

由当且仅当时等号成立，

于是在上是严格增函数，故成立.①

再证：.，

记，则，

由，故当且仅当时等号成立，

于是在上是严格减函数，

故，于是，

所以，，即对任意，.

于是对，，整理得，

令，得，即，故.

（方法一）当时，

故即，

从而.对于任意给定的正实数，令，

则取为大于且不小于的最小整数，

则当时，恒成立，因此，数列的极限为.

（方法二）而对于任意，只需且时，

可得.

故存在，当时，恒有，

因而的极限.……（6分）