2025高考二轮模拟冲刺 数学（天津卷01）（参考答案）.docx

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2025年高考第二次模拟考试

高三数学（天津）01·参考答案

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C

B

A

C

B

B

A

D

D

三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10．

11．28

12．

13.

14.

15.或

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

16．（本小题满分14分）

【解】（1）在中，由正弦定理，，，

可得，

因为，所以，即，

显然，解得．

（2）在中，由余弦定理，

得，解得或．

由已知，，互不相等，所以，

所以．

（3）因为，所以，

所以，，

所以.

17．（本小题满分15分）

【解】（1）由题意分别为的中点，

所以是的中位线，

即，

又平面，平面，

所以平面；

（2）由于四边形是正方形，平面，

所以两两垂直，

以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

??????????????????

又，分别为的中点，

则，

所以；

设平面的一个法向量，

则，

解得，令，得；

即，

设平面的一个法向量为，

则，

解得，令，

即；

设平面与平面夹角的大小为，

所以，

又，所以；

即平面与平面夹角的大小为；

（3）由（2）平面的一个法向量为；

又，

所以点到与平面的距离距为：

.

18．（本小题满分15分）

【解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则，

四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为，

即，所以椭圆的方程为：.

（2）设，联立直线与椭圆，

消去y可得，

，则，，

设PQ的中点为，则，所以，

因为，所以，所以，

所以，即，所以，

又，所以，

又，故即，

所以的取值范围是，

所以面积的取值范围为.

19．（本小题满分15分）

【解】（1）因为，所以，且，

所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，

所以的通项公式为；

（2）①设的公差为，因为，，

所以，所以，所以，

所以，所以，

所以

②所以，

所以，

所以，

又因为，所以.

20．（本小题满分16分）

【解】（1）,

∵曲线在处的切线的方程为，

所以，∴；

（2）当时，，则，

当时，，递减，当时，，递增，

由于，且，故不妨设，

则要证明，即证，而，

当时，递增，故即证，

由于，即只需证明，

令，

则，

当时，，

即单调递减，故，

即时，，即有，

故原命题成立，即；

（3）因为，，

所以，故函数在上单调递增，

不妨设，则可化为，设，则，

所以为上的增函数，即在上恒成立，

等价于在上恒成立，即在上恒成立，

又，所以，所以，

对于函数，，当时，，

故在上是增函数，所以，

所以，即m的取值范围为.