石家庄市第一中学高一下学期数学教案：等差数列.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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教材章节:§2。2课题：等差数列

教学目标：

1．知识与技能:

通过实例,理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系．

2．过程与方法：

让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导,归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究．

3．情感、态度与价值观：

培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识．

重点：理解等差数列的概念及性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系．

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法．

教学过程：

举例：①；

②；

③；

④；

观察上述数列,其共同特点是：从第二项起,每一项与其前一项的差都相等，这样的数列称之为等差数列．下面我们看等差数列的确切定义：

一、定义及相关概念：

等差数列：如果一个数列，从第二项起每一项与其前一项的差等于同一个常数,则该数列称为等差数列,（简记为：)．

公差:每一项与其前一项的差为一个常数,称为等差数列的公差,一般用表示．

等差中项：若成等差，则，即，称为的等差中项．

注:等差数列中每一项是它的前一项和后一项的等差中项．

注：1常数列是等差数列，且公差为0;

2任意两个数都有等差中项，且只有一个．

二、等差数列的通项公式：

（1）不完全归纳法:

得到：（需要证明）

(2）递推法：

相加

相加

知三求二

知三求二

（3)迭代法：

通项公式的推广：

（1）对任意，．时,即为通项公式．已知数列的任意两项，均可求公差．

例1．在等差数列中，已知,，求．(17）

例2．若,求．

∴

（2），是否为等差数列？

为常数，

∴是等差数列，公差为，，∴．

例3．（见课本P38例3)

三、图象表示：

(1）当时，是的一次函数,数列的图象是直线上的均匀排开的无穷(或有穷）个孤立点．

（2）当时，，表示平行于轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点．

举例

例4．（见课本P38例1）

例5．（见课本P38例2)

例6．数列中，，求证数列为等差数列．

证明：，

（常数），所以,由等差数列的定义知，该数列为等差数列．

方法小结：

证明一个数列是等差数列:只能利用定义，证明

判断一个数列是等差数列：①利用定义；②利用通项公式；③利用等差中项公式；④利用前项和公式．

四、等差数列的性质：

(1)单调性：

，不具单调性，为常数列；，递增数列；，递减数列．

(2)等差数列中，若且,则必有．即角标和相等，则项的和也相等．

特例：若，则必有，但是若，不一定有．

（3）下标成等差数列的项组成的新数列也等差．

（4）若为等差数列，则也是等差数列．公差分别为．

（5）若为等差数列，公差为，则也等差，公差为．

五、应用举例

例1．性质的应用

（1）若，求;

(2）若，求公差；

（3）在中，是方程的两个根,求．

解：是方程的两个根,又

（4)在等差数列中,，求的值．

解：也构成一个等差数列，且为首项，由，得：．

．

（5）已知数列是等差数列，,且，求的值．

解:由,两边同除得：，

∵是等差数列，∴，则．

∴或．

当时，，，这是不可能的，故舍．

当时，，，．故．

例2．若四个数成等差，其和为32，且第二个数与第三个数之比为，求这四个数．

设数的技巧：设四个数依次为,公差为．若三个数等差,设为．

解：由，得

又，得,所以，这四个数为－4，4,12，20．

例3．为等差数列，，求其通项公式．

解：由得，

得．时，

时，

例4．设数列为等差数列

（1）已知,求公差，使最小；

（2）已知，求公差，使最小．

解：（1)

要使之最小,只须．

(2）

要使之最小，须．