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《概率论》期末考试试题A卷及答案

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设事件A和B满足$P(AB)=P(A)$，则（）

A.A?B

B.B?A

C.A与B互斥

D.A与B独立

答案：C

解析：已知$P(AB)=P(A)$，根据概率的性质$P(AB)=P(A)P(AB)$，所以$P(A)P(AB)=P(A)$，可得$P(AB)=0$。根据互斥事件的定义：若两事件A、B满足$AB=\varnothing$，则$P(AB)=0$，所以A与B互斥。

2.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且$P\{X=1\}=P\{X=2\}$，则λ=（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为$P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$。已知$P\{X=1\}=P\{X=2\}$，即$\frac{\lambda^{1}e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{\lambda}}{2!}$，因为$e^{\lambda}\neq0$，两边同时约去$e^{\lambda}$，得到$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，又因为$\lambda0$，解得$\lambda=2$。

3.设随机变量X的概率密度为$f(x)=\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}$，则$P\{X\leqslant0.5\}$=（）

A.0.25

B.0.5

C.0.75

D.1

答案：A

解析：根据概率密度函数求概率，$P\{X\leqslant0.5\}=\int_{\infty}^{0.5}f(x)dx$，因为$f(x)$在$x\notin(0,1)$时为0，所以$P\{X\leqslant0.5\}=\int_{0}^{0.5}2xdx$，根据积分公式$\intx^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq1$），可得$\int_{0}^{0.5}2xdx=x^{2}\big|_{0}^{0.5}=0.5^{2}0^{2}=0.25$。

4.设随机变量X和Y相互独立，且$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,1)$，则（）

A.$P\{X+Y\leqslant0\}=\frac{1}{2}$

B.$P\{X+Y\leqslant1\}=\frac{1}{2}$

C.$P\{XY\leqslant0\}=\frac{1}{2}$

D.$P\{XY\leqslant1\}=\frac{1}{2}$

答案：B

解析：若$X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且X与Y相互独立，则$X+Y\simN(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$。已知$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,1)$，所以$X+Y\simN(0+1,1+1)=N(1,2)$。对于正态分布$Z\simN(\mu,\sigma^{2})$，$P\{Z\leqslant\mu\}=\frac{1}{2}$，所以$P\{X+Y\leqslant1\}=\frac{1}{2}$。

5.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，则$\overline{X}$服从的分布为（）

A.$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$

B.$N(\mu,\sigma^{2})$

C.$N(0,1)$

D.$N(n\mu,n\sigma^{2})$

答案：A

解析：若总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，则样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。

二、填空题（每题3分，共15分）

1.已知$P(A)=0.3$，$P(B)=0