2025版新教材高中数学第五章三角函数6第2课时函数y=Asinωxφ的性质及其应用学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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第2课时函数y=Asin（ωx+φ）的性质及其应用

互动探究·关键实力

探究点一由函数图象求解析式

精讲精练

例函数y=Asin

答案：由题图易知A=3,点(π3,0)和(5?π6,0)

解题感悟

给出函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分,确定A,ω,

(1)逐肯定参法：假如从图象可干脆确定A和ω,那么求φ时,选取“五点法”中的“第一个点”的数据代入“ωx+φ＝0”求解(要留意正确推断哪一点是“第一个点”),或选取最大值点代入ωx＋φ＝π2+2?

(2)待定系数法：将若干特别点代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里须要留意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式．

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asinωx,再

迁移应用

1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,若A＞0,ω＞0,|φ|＜π

答案：1.由题图可知f(x)min=0,f(x)max=4.所以A=4-02=2,B=4+02

所以π3+φ=2?kπ+π2,k∈

所以f(x)=2?sin

探究点二函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性

精讲精练

例已知函数f(x)=4?sin(ωx+π3)(ω＞0)的最小正周期是3?

A.x=π6

C.x=5?π

答案：例D

解析：例由函数f(x)=4?sin(ωx+π3)(ω＞0)的最小正周期是3?π,得T=2?πω=3?π,解得ω=23,则函数f(x)=4?sin(23

解题感悟

函数y=Asin（ωx+φ）图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ+π2,k∈Z求得,为x=kπ

迁移应用

1.已知函数f(x)=sin(ωx+π

A.关于点(π

B.关于直线x=π

C.关于点(π

D.关于直线x=π

答案：1.A

探究点三三角函数性质的综合问题

精讲精练

例已知函数f(x)=1

（1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间;

（2）求f(x)图象的对称轴方程和对称中心;

（3）求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.

答案：（1）函数f(x)的最小正周期T=2?π2=π.令2?kπ-

（2）令2x+π6=kπ+π2(k∈Z),则x=kπ2

（3）令sin(2x+π6)=-1,则2x+π6=-π2+2?kπ(k∈Z

解题感悟

确定函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)单调区间的方法：采纳“换元法”整体代换,将ωx+φ看作一个整体,令“z=ωx+φ”,即通过求y＝Asin?z的单调区间从而求出函数的单调区间．

迁移应用

1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3?π4

答案：1.由f(x)是偶函数,得函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)在x=0处取得最值,即sinφ=1或sinφ=-1,即φ=kπ+π2,k∈Z,因为0≤φ＜π,所以φ=π2.由f(x)的图象关于点M对称,可知sin(3?π4ω+π2)=0,即3?π4ω+π2

评价检测·素养提升

课堂检测

1.若函数f(x)=2?sin(2x-π

A.5?π6B.π2C.

答案：1.A

2.若f(x)=3sin?2ωx+1(ω＞0)在区间[-

答案：2.1

解析：2.由题意可得-3?π2×2ω≥-π2,且π2

3.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线

答案：3.-

解析：3.由题意知2×π6+φ=π2+kπ

4.函数f(x)=Asin

答案：4.f(x)=2?

解析：4.由题图知,A=2,T=7?π8-(-π8)=π,所以ω=2,又函数图象过点(-π8,0),所以2?

素养演练

直观想象——数形结合思想在函数中的应用

1.已知关于x的方程2?sin(2x+π6)+m-1=0

答案：1.(-1,0].

解析：1.方程2?sin(2x+π6)+m-1=0在[0,π2]上有两个不同的实数根等价于方程①-m+1=2?sin

如图,需满意④1≤-m+1＜2,解得-1＜m≤0,即实数m的取值范围为(-1,0].

审：本题依据方程在闭区间上有两个不同的实数根求参数的取值范围.

联：函数y=2?sin(2x+π6)

思：本题是将方程根的问题转化为函数图象和直线交点的问题,再利用数形结合思想进行求解,充分体现数形结合、转化与化归的数学思想.

迁移应用

1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f(x)=m在区间[0,

A.π3B.23π或

答案：1.D

解析：1.要