【权威 含答案解析】北京冲刺2025高考数学大题预测01（A+B+C三组解答题）（解析版）.docxVIP

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大题预测01（A组+B组+C组）

【A组】

（建议用时：60分钟满分：85分）

四、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（13分）

在如图所示的直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点.

(1)求异面直线与EF所成角的余弦值；

(2)求平面与平面AEF夹角的大小.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）用空间向量法求解；（2）或用空间向量法求解.

【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，，，

又，所以2分

以A为原点，直线AB，AC，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，，

所以，

即异面直线与EF所成角的余弦值是6分

（2）由（1）知，，，，

设平面的法向量，则

取，得，

所以平面的一个法向量8分

设平面AEF的法向量，则

取，得，，所以平面AEF的一个法向量10分

因为，所以，

即平面与平面AEF的夹角是13分

17．（14分）

已知，.

(1)若函数的最小正周期为，求的值；

(2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值；

（2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围.

【详解】（1）

，2分

因为且函数的最小正周期为，故4分

（2）当时，.

若时，，

当时，函数取得最大值，即.????6分

而函数与存在相同的最大值，

故当时，函数在内取得最大值，8分

因此可得，???

①当时，可得，则有，解得；???

②当时，可得，则有，解得10分

当时，，此时，，

当时，，此时，13分

综上所述，的取值范围为14分

18．（13分）

恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：

网民类型

在直播间购买大米的情况

合计

在甲直播间购买

在乙直播间购买

本地区网民

外地区网民

30

45

合计

20

100

(1)补全2×2列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；

(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为，求使事件“”的概率取最大值时的值.

附：，其中.

a

0.1

0.05

0.01

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

【答案】(1)列联表见解析；能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关(2)

【分析】（1）根据数据关系补充列联表，提出零假设，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；

（2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为的概率，利用作商法判断概率的大小即可得解.

【详解】（1）因为网民人数合计为，外地区网民人数为，所以本地区网民人数为，

在甲直播间购买的外地区网民人数为，外地区网民人数为，

所以在乙直播间购买的外地区网民人数为，

又在乙直播间购买的网民总人数为，

所以在甲直播间购买的外地区网民人数为，

所以在甲直播间购买的本地区网民人数为，2分

所以列联表如下：

网民类型

在直播间购买大米的情况

合计

在甲直播间购买

在乙直播间购买

本地区网民

外地区网民

合计

提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联，

经计算得，4分

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联5分

（2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，

可知网民选择在甲直播间购买大米的概率为，7分

则，记，，

则，8分

则问题等价于求当取何值时取最大值，

因为，，

又，

所以当时，；

当时，；

当时，；

所以，

，

所以当时，取最大值，

即使事件“”的概率取最大值的的值为15分

19．（15分）

已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，在轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，．

(1)当时，求直线的方程；

(2)已知为坐标原点，证明：．

【答案】(1)(2)证明见解析

【分析】（1）由题意设直线的方程为：，与抛物线方程联立，可得根与系数的关系.由结合根与系数关系可求出的值，从而得到直线的方程.

（2）由向量共线的坐标运算可得在线段上；同理，