【权威 含答案解析】北京冲刺2025高考数学大题预测03（A+B+C三组解答题）（解析版）.docxVIP

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大题预测03（A组+B组+C组）

【A组】

（建议用时：60分钟满分：85分）

四、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（13分）

已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)当时，若的最大值为，求的值.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；

（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可得出函数的最大值，即可求出实数的值.

【详解】（1）.

所以，函数的最小正周期为5分

（2）当时，，

故当时，函数的最大值为，解得13分

17．（14分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，且为正三角形，，点为的中点，点为棱上一点，且，.

(1)证明：平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得，根据等边三角形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解，

（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可根据向量的夹角公式求解.

【详解】（1）证明：因为为正三角形，点为的中点，所以.

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面2分

又平面，所以.

因为，，平面，

所以平面5分

（2）如图，取的中点，的中点，连接，.

易知，，则，平面，

又平面，所以，8分

故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易知，则，，，，

，，10分

则，

故.

由（1）可知是平面的一个法向量，

故由题可知，又，

解得14分

18．（13分）

同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：

1

2

3

4

5

6

甲

25

21

27

27

23

25

乙

18

25

25

25

25

17

假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.

(1)估计甲队每局获胜的概率；

(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）.

【答案】(1)(2)分布列见详解；(3)两队积分相等的概率小于

【分析】（1）根据题意利用频率估计概率即可；

（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；

（3）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．

【详解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，

用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为4分

（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

可得：，，

，，6分

所以的分布列为

0

1

2

3

所以数学期望．8分

（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，

设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，

因两队积分相等，所以，即，则，

而，

，

，

12分

所以

，

因为，所以两队积分相等的概率小于13分

19．（15分）

已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称.

(1)求椭圆的方程；

(2)证明：直线过定点.

【答案】(1)(2)证明见解析

【分析】（1）由椭圆短轴长的，离心率为，列方程组即可求得椭圆方程；

（2）设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程得到韦达定理，结合椭圆的对称性，可知定点在轴上，利用韦达定理化简即可求得直线恒过定点；

【详解】（1）因为椭圆的短轴长的，离心率为，

所以解得

所以椭圆的方程为．5分

（2）设直线的方程为，，则，

联立整理得，则，，，所以，8分

直线的方程为，

由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上．10分

当时，

，

即直线恒过定点．15分

20．（15分）

已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程；

（2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.

【详解】（1）当时，，所以，2分

而，所以在切线斜率，

所以切线方程为，即5分

（2）因为，其中，

则，7分

①当时，恒成立