2025版新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.1抛物线及其标准方程基础训练含解析新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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抛物线及其标准方程

1.（2024江苏连云港高二期中）焦点为(0，2)的抛物线的标准方程是()

A.x2=8y

C.y2=4x

答案：A

2.（2024北京延庆高二期中）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上的一点，过P作PQ⊥x轴于Q，若|PF|=3，则线段

A.2B.2C.22D.

答案：C

3.（2024江西南昌十中高二期中）若抛物线y2=2px(p＞0)上的点A(x0,42)

A.2B.4

C.6D.8

答案：D

4.（多选题）已知抛物线y2

A.焦点在y轴上

B.焦点在x轴上

C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)

答案：B;D

5.（2024北京人大附中高二期中）已知抛物线y2=-12x的焦点与双曲线x2

A.5B.13C.5D.2

答案：C

6.（2024山东泰安高二期中）已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则

A.1B.2C.2D.2

答案：B

7.（2024北京丰台高二期末）已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，点N在准线l上，且MN⊥l.若|MF|=8，∠MFN=

A.8B.4C.2D.1

答案：B

8.（2024安徽淮南一中高二期中）已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，且l过点(-3,2)，M在抛物线C上，若点N(2,4)

A.2B.3C.4D.5

答案：D

9.依据下列条件分别求出抛物线的标准方程.

（1）抛物线的焦点是双曲线16x

（2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.

答案：（1）将双曲线的方程化为标准形式，可得其左顶点为(-3,0)，故可知抛物线的焦点为(-3,0)，由此设抛物线的标准方程为y2=-2px(p＞0)，则-p2=-3

（2）由题意设抛物线的标准方程为y2=2nx(n≠0)，因为A(m,-3)在抛物线上，所以(-3)2=2?nm，由|AF|=5，得m+n

素养提升练

10.（2024湖南长沙长郡中学高二期中）苏州市的“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是“东方之门”的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60?m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150?m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30?m，如图2，则此抛物线的顶端O

A.180?mB.200?mC.220?

答案：B

解析：依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的标准方程为x2

由题意设D(15,h)，B(30,

则

解得h=-50，p=2.25，所以此拋物线的顶端O到连桥AB的距离为50+150=200m.

11.（多选题）已知抛物线E:x2=4y的焦点为F，圆C:x2+(y-1)2=16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，过点P

A.点P的纵坐标的取值范围是(2

B.|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离

C.圆C的圆心到抛物线准线的距离为2

D.△PFN周长的取值范围是(8,10)

答案：B;C;D

解析：圆C:x2+(y-1)2=16的圆心为

抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1)

联立圆的方程和抛物线的方程可得A，B两点的纵坐标均为3，所以点P的纵坐标yP

由抛物线的定义可得|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故B中命题正确；

圆C的圆心到抛物线准线的距离为2，故C中命题正确；

△PFN的周长为|PF|+|PN|+|NF|=r+y

12.（2024江西南昌江西师大附中高二期中）设F为抛物线x2=24y的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若F是三角形ABC的重心，则

答案：36

解析：抛物线x2=24y的焦点为F(0,6)，准线方程为

设A(x1,y1

由F是三角形ABC的重心得y1

所以y1

由抛物线的定义可知，|FA|+|FB|+|FC|=(y

创新拓展练

13.某抛物线型拱桥水面的宽度20?m，拱顶离水面4?m，现有一船宽9?m

（1）建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程；

（2）试问：这条船能否从桥下通过？请说明理由.

命题分析本题考查了抛物线方程的求法，抛物线中在实际问题的应用.

答题要领（1）设抛物线为x2=-2py，将(10,-4)代入即可求得p=25