【权威 含答案解析】天津冲刺2025年高考数学大题突破大题预测03（A+B+C三组解答题）（解析版）.docxVIP

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大题预测03（A组+B组+C组）

【A组】

（建议用时：60分钟满分：75分）

四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）

2024年11月7日至11日昆明第二十一届国际汽车博览会在滇池会展中心举行，华为展厅拿出来20个问界M9汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

雅丹黑外观

星河蓝外观

赤茶橘内饰

10

5

月影灰内饰

2

3

(1)若小张从这些模型中随机拿出一个模型，记事件为小张取到雅丹黑外观的模型，事件为小张取到月影灰内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；

(2)华为公司现场举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下抽奖规则：

①选到的两个模型会出现三种结果：即外观和内饰均同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；

②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖金越高；

③该抽奖活动的奖金为：一等奖760元，二等奖380元，三等奖190元.

请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望.

【解析】（1），，1分

同时取到雅丹黑外观和月影灰内饰的模型有2个，即，2分

.???因为，

所以，即事件和事件不独立.5分

（2）由题意知760，380，190，6分

则外观和内饰均同色的概率

外观和内饰都异色的概率

仅外观或仅内饰同色的概率，8分

因为，

所以，，，11分

则X的分布列为：

（元）.14分

（15分）

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)证明：；

(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．

【解析】（1）由正弦定理，，所以．

又，所以，2分

所以，所以，

因，所以，即.4分

（2）因为，所以，

因为，所以．

因为，所以，7分

∵为锐角三角形，∴，∴，∴

因为，由余弦定理，两式联立得，11分

又因为，代入上式，得到，12分

则，且，13分

所以，即．所以周长的取值范围为．15分

17．（15分）

如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，为边的中点，.

??

(1)求证：；

(2)已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.

【详解】（1）因为，为边的中点，所以，

又在中，，

由余弦定理可得，即，则，2分

又为平行四边形，所以，则，

又平面底面，平面底面，

所以平面，又平面，所以.5分

（2）取的中点，又，

??

所以，

又平面底面，

所以底面，

又，所以，

所以两两垂直.

如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：

，

设，则，8分

设平面的法向量为，

则，

取，则，10分

又平面的一个法向量为，

则，

得，即.12分

则平面的一个法向量为，

设，则，

则，

解得，即为中点.15分

18．（15分）

设函数（）.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)当时，曲线与直线交于，两点，求证：；

(3)证明：（，）.

【解析】（1）当时，，

，1分

时，，单调递减；

时，，单调递增.3分

（2），则，

由题意，知有两解，，不妨设，

要证，即证，

①若，则；

②若，由知，5分

在上单调递减，在上单调递增，也有，综合①②知，，

所以只需证（*）.

又，∴两式相减，整理得，

代入（*）式，得，即.8分

令（），即证.

令（），则，10分

∴在上为增函数，∴，

∴成立.11分

（3）由（2）知，，

故，，取，13分

所以（），

则（）.15分

19．（16分）

已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是

(1)求双曲线的方程；

(2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标.

【解析】（1）因为渐近线方程是，得，，

又，，即，整理得，2分

解得：，，故双曲线方程为.3分

（2）设直线的方程为，

联立，可得，

根据题意，6分

解得点纵坐标为，代入，解得，所以，

设线段的中点为，依题意，则点的坐标为，9分

设点，因为是正三角形，所以有，

，，则由得，，11分

即，整理有：，所以①.13分

在正三角形中，有，由结合弦长公式得，

，化简得.

代入①可得，所以点或.16分

【B组】

（建议用时：60分钟满分：75分）

四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）

已知的内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求边；

(2)若，求面积的最大值．

【解析】（1）法一：因为，

可得，

由正弦定理可得：??所以；5分

法二：因为，由正弦定理可得，

由余弦定理得：

化简得：，即，所以.5分

（2）法一：因为，即，则，

可得8分

由正弦定理可得：，

又因为，所以，9分