2024年新教材高中数学第八章立体几何初步新题型专练含解析新人教A版必修第二册.docVIP

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新题型专练(三)

(25分钟50分)

一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

1．(2024·日照高一检测)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满意aα，bβ，cγ，则直线a，b，c可能满意()

A．两两垂直B．两两平行

C．两两相交D．两两异面

【解析】选ACD.如图1，a，b，c可能两两垂直．

如图2，a，b，c可能两两相交；如图3，a，b，c可能两两异面．

2．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列命题中正确的是()

A．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β

B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β

C．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n

【解析】选BD.由α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，知：A.若mα，nα，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；B.若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则由面面垂直的判定得α⊥β，故B正确；C.若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或lβ，故C错误；D.若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n.故D正确．

3．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是()

A.PA∥平面MOB B．MO∥平面PAC

C．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC

【解析】选BD.因为PA平面MOB，故A错误；

因为OM是△PAB的中位线，

所以OM∥PA，

又OM平面PAC，PA平面PAC，

所以OM∥平面PAC，故B正确；

因为AB是直径，所以BC⊥AC，

所以又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC，故C错误；

又BC平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确．

4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1

A.A，M，N，B四点共面

B．直线BN与B1M

C．BN∥平面ADM

D．平面ADM⊥平面CDD1C

【解析】选BD.对于A，A，B，M在平面ABC1D1内，N在平面ABC1D1外，故A错误；对于B，如图，取CD中点E，连接BE，NE，可得BE∥B1M，∠EBN为直线BN与B1M所成角(或其补角)，由题意可得△BEN为边长为2eq\r(2)的等边三角形，则∠EBN＝60°，故B正确；对于C，若BN∥平面ADM，又BC∥

平面ADM，则平面BCC1B1∥平面ADM，而平面BCC1B1∥平面ADD1A1，冲突，故C错误；对于D，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面CDD1C1，AD平面ADM，所以平面ADM⊥平面CDD1

5．(2024·三明高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列推断正确的是()

A.E为PA的中点

B．PB与CD所成的角为eq\f(π,3)

C．平面BDE⊥平面PAC

D．点P与点A到平面BDE的距离相等

【解析】选ACD.对于A，连接AC，交BD于点F，

连接EF，则平面PAC∩平面BDE＝EF，

因为PC∥平面BDE，EF平面BDE，PC平面PAC，所以EF∥PC，

因为四边形ABCD是正方形，

所以AF＝FC，所以AE＝EP，选项A正确；

对于B，因为CD∥AB，

所以∠PBA(或其补角)为PB与CD所成的角，

因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，

在Rt△PAB中，PA＝AB，所以∠PBA＝eq\f(π,4)，

所以PB与CD所成的角为eq\f(π,4)，选项B错误；

对于C，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，

因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD，

因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，

又BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC，选项C正确；

对于D，则V三棱锥A-BDE＝V三棱锥P-BDE＝eq\f(1,2)V三棱锥P-ABD，

所以点P与点A到平面BDE的距离相等，选项D正确．

二、双空题(每小题5分，共15分，其中第一空3分，其次空2分)

6．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB＝6，AC＝8，BC＝10，则球的半径等于________；球的表面积等于________．

【解析】△ABC的外接圆半径为r＝5，

则R＝eq\r(52＋\b\l