2024_2025学年新教材高中数学第6章统计44.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数学案北师大版必修第一册.docVIP

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分层随机抽样的均值与方差百分位数

学习目标

核心素养

1．结合详细实例，驾驭分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点)

2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(难点、重点)

1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培育数学运算素养．

2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培育数据分析素养.

1．分层随机抽样的均值和方差的计算公式是什么？

2．百分位数的概念是什么？如何求解？有何意义？

3．什么是四分位数？

1．分层随机抽样的均值

设样本中不同层的平均数和相应权重分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(xn)和w1，w2,…，wn，则这个样本的平均数为w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(xn).为了简化表示，引进求和符号，记作w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wieq\x\to(x)i.

2．分层随机抽样的方差

设样本中不同层的平均数分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wi[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(xi)－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)为样本平均数．

3．百分位数

(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的随意一个数小于或等于它的可能性是p.

(2)常用的百分位数：

①四分位数：25%,50%,75%，

②其它常用的百分位数：1%,5%,10%,90%,95%,99%.

(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：

第1步，依据从小到大排列原始数据；

第2步，计算i＝np；

第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

(1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成果的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成果的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成果的平均分是eq\f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq\f(2＋4,2)＝3吗？为什么？

(2)“这次数学测试成果的70%分位数是85分”这句话是什么意思？

[提示](1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．

(2)有70%的同学数学测试成果小于或等于85分．

1.下列一组数据的25%分位数是()

2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6.

A．3.2 B．3.0

C．4.4 D．2.5

A[把该组数据依据由小到大排列，可得：

2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6.

由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．]

2.某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为()

A．5万元 B．8万元

C．6.5万元 D．7.4万元

D[由题意可知eq\x\to(x)＝eq\f(20,100)×5＋eq\f(80,100)×8＝7.4(万元)．]

类型1分层随机抽样的均值与方差

【例1】工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．

[解]设抽到甲的一个样本数据为x1，x2，…，x10；乙的一个样本数据为y1，y2，…，y12，

由题意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝5，

方差s2＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－5)2＝1，

eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,12)eq\o(∑,\s\up6(12),\s\do4(i＝1))yi＝6，方