湖南省长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）2025届高三一模数学试题.docx

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湖南省长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）2025届高三一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，若，则（????）

A． B．2 C． D．6

2．复数满足，则的实部为（????）

A． B． C． D．

3．已知向量，，且，则（???）

A． B．1 C． D．2

4．已知向量，，与的夹角为，则（???）

A． B． C． D．

5．下列函数对于任意，都有成立的是（???）

A． B． C． D．

6．“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

8．如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（????）

A．

B．

C．为定值8

D．若，则的最小值为

10．如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（???）

A．将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为

B．将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则

C．小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种

D．小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为

11．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则（????）

A． B．四面体的体积为

C．点D到平面BCM的距离为 D．三棱锥与的外接球体积相等

三、填空题

12．已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为.

13．为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．

奖品

一个健身背包

一盒蛋白粉

概率

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为．

14．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.

四、解答题

15．记内角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长.

16．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.

(1)求函数的解析表达式；

(2)求函数的极值.

17．在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是.

(1)求椭圆的方程；

(2)当时，求的面积.

18．如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，.

??

(1)求证：平面平面；

(2)设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.

19．将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．

(1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；

(2)计算以下数列的逆序数．

（ⅰ）；

（ⅱ）；

(3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数．

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《湖南省长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）2025届高三一模数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

C

C

A

C

D

B

AC

ABD

题号

11

答案

ACD

1．