2024_2025学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1第2课时对数的运算学案新人教A版必修1.docVIP

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第2课时对数的运算

导思

1.对数有哪些运算性质？

2．换底公式是什么？

1.对数的运算性质

假如a0，且a≠1，M0，N0，那么

(1)积的对数：loga(M·N)＝logaM＋logaN．

(2)商的对数：logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN．

(3)幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R)．

在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？

提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．

2．换底公式

若a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0，则有logab＝eq\f(logcb,logca).

(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？

提示：logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).

(2)你能用换底公式推导出结论＝eq\f(m,n)logNM吗？

提示：logNnMm＝eq\f(lgMm,lgNn)＝eq\f(mlgM,nlgN)＝eq\f(m,n)·eq\f(lgM,lgN)＝eq\f(m,n)logNM.

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)lg(x＋y)＝lgx＋lgy．(×)

提示：令x＝y＝1，则lg(x＋y)＝lg2＞lg1＝0，而lgx＋lgy＝0，不成立．

(2)log2(16－8)＝log216－log28.(×)

提示：等式的左边＝log2(16－8)＝log28＝3，

右边＝log216－log28＝4－3＝1.

(3)eq\f(log28,log24)＝log2eq\f(8,4)＝1.(×)

提示：等式的左边＝eq\f(log28,log24)＝eq\f(3,2)≠log2eq\f(8,4).

2．计算2log510＋log50.25等于()

A.0B．1C．2D．4

【解析】选C.原式＝log5102＋log50.25

＝log5(102×0.25)＝log525＝2.

3．(教材练习改编)若log34×log48×log8m＝log416，则m＝________．

【解析】原方程可化为eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg8,lg4)×eq\f(lgm,lg8)＝eq\f(lgm,lg3)＝2，

即lgm＝2lg3＝lg9，所以m＝9.

答案：9

类型一对数运算性质的应用(数学运算)

【典例】1.(2024·邯郸高一检测)log4eq\r(4,8)＝()

A.eq\f(1,4)B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)

2．已知a＝log32，用a来表示log38－2log36为()

A.a－2 B．5a－2

C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1

3．计算：lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2)2＋lgeq\f(1,6)＋lg0.06.

【思路导引】1.干脆用对数运算性质求解．

2．变形8＝23，6＝2×3，利用对数运算性质绽开后代入a.

3．综合利用对数的运算性质求值．

【解析】1.选B.log4eq\r(4,8)＝eq\f(1,4)log48

＝eq\f(1,4)×eq\f(3,2)×log22＝eq\f(3,8).

2．选A.log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)

＝3a－2(a＋1)＝a－2.

3．原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2

＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2

＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2

＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.

利用对数运算求值的方法

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

计算：logeq\r(3)27＋lg4＋lg25.

【解析】原式＝logeq\r(3)(eq\r(3))6＋2lg2＋2lg5

＝6＋2(lg2＋lg5)＝8.

【补偿训练】

求下列各式的值：

(1)＋2lg2＋lg25.

(2)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log