山西省太原市2024-2025学年高二上学期期末学业诊断数学试卷2.docx

2024～2025学年第一学期高二年级期末学业诊断

数学试卷

（考试时间：上午8：00—10：00）

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.抛物线y2=4x的焦点坐标是

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）

2.双曲线的顶点坐标为（）

A.，B.，C.，D.，

3.已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（）

A.B.C.D.

4.已知双曲线的一个焦点为，其离心率，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.B.C.D.

5.已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为

（）

A.B.C.D.

6.已知点P是抛物线上一点，则点P到直线的距离的最小值为（）

A.B.2C.D.

7.已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是

的中点，则双曲线的离心率为（）

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A.B.C.D.

8.古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直

线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；

当时，轨迹为双曲线.若方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范

围为（）

A.B.C.D.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（）

A.它们的实轴长相等B.它们的焦点相同

C.它们的离心率相等D.它们的渐近线相同

10.已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（）

A.直线l过定点

B.当时，直线l与抛物线C相切

C.当时，直线l与抛物线C有两个公共点

D.当直线l与抛物线C无公共点时，或

11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文学家卡西尼在研

究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，，，动点P满足

，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）

A.曲线C关于原点对称B.点P的横坐标的取值范围为

C.面积的最大值为2D.的取值范围为

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.抛物线准线方程是___________________.

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13.已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若

，则（O是坐标原点）的面积为__________.

14.已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的

动点，则的最大值为__________.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标；

（2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标.

16.已知点在抛物线C：（）上，且点P到C准线的距离为2.

（1）求C方程；

（2）设圆与抛物线C相交于A，B两个不同点，求的值.

17.已知点，，动点P满足，记点P轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程，并说明曲线C的形状；

（2）若双曲线E右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程.

18.已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹

为曲线C.

（1）求曲线C的标准方程；

（2）若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直

线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

19.椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经

过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐

标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射

后回到所经过的路程为8c.过点