【权威 含答案解析】天津冲刺2025年高考数学大题突破大题01三角函数与解三角形（解析版）.docxVIP

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大题01三角函数与解三角形

三角函数与解三角形是高中数学的重要内容。高考主要考查三角函数的图象及应用、三角函数的性质及应用、三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查,多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。

解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档。

题型一三角函数概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式

已知.

(1)化简；

(2)若，求的值；

(3)若为第三象限角，且，求的值.

【解析】

（1）由题意可得.

（2）若，

则.

（3）因为，所以，

又为第三象限角，所以，

所以.

此类题型考察恒等变形，涉及到三角恒等变形的公式比较多。正切的和差公式，同角的平方关系，诱导公式，还要考虑角的范围问题。

求三角函数值的问题，可依循三种途径：

1.?先化简再求值：将式子化成能够利用题设已知条件的最简形式；

2.?从已知条件出发：选择合适的三角公式进行变换，推出要求式的值；

3.?将已知条件与求值式同时化简再求值。

1．已知函数．

(1)化简；

(2)若，求的值．

【解析】

（1）

（2）由（1）知，

则，

则，

故．

2．已知，.

(1)求的值；

(2)已知，先化简再求值.

【解析】

（1）解法一：因为，则，

因为，联立，得，

解得，所以.

解法二：因为，，所以，

所以，即，

因为，

因为，则，所以，，所以.

（2）解法一：因为

，

由（1）得，所以；

解法二：

.

由，解得，，所以，

所以.

题型二：三角函数的图像和性质

已知函数.

(1)求的最小正周期及的值；

(2)为了得到的图像，需将正弦函数的图像进行怎样的变换？（写出一种即可）

(3)求在上的单调递减区间.

【解析】（1）最小正周期，；

（2）的图象向左平移个单位得到函数，

的图象上所有点的横坐标缩短到原理的（纵坐标不变），得到，

函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到.

，

则，

当时，

，

所以函数在上的单调递减区间是.

利用图像解题:通过绘制或想象三角函数的图像，可以帮助理解其性质并解决相关问题例如，通过正弦函数的图像可以直观地看出其在不同区间的增减性，从而解决与单调性相关的问题。

特殊值法:在解决某些问题时，可以通过代入特殊值来简化计算。例如，求正弦函数在特定区间的最值时，可以代入区间端点的值进行计算。

平移和伸缩变换:了解函数图像的平移和伸缩变换规则，可以帮助解决与图像变换相关的问题。例如，将正弦函数的图像向左平移π2个单位长度，会得到余弦函数的图像

1．函数的部分图象如图所示.

（1）求及图中的值；

（2）求在区间上的值域.

【解析】解：（1）因为的图象过点，所以.

又因为，所以.

因为，所以或，，

所以或.

又因为的最小正周期为，结合的图象可知，所以.

（2）由（1）可知，

因为，所以，

所以，则，

即在上的值域为

2．已知函数的最小正周期为．

(1)求的值及函数图像的对称中心；

(2)设，若使得，求实数b的取值范围．

【解析】（1），

，

，

，

，

∵周期，∴，

∴，

令，解得，

∴函数图像的对称中心.

（2），

，

令，在上单调递增，∴，

∴，

令，解得

∴函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，

∵使得，

∴，

当时，的图象的对称轴为，函数在时单调递减，所以符合题意，

∴.

题型三解三角形

在中，角所对的边分别为，且满足

(1)求角的大小；

(2)若中线的长为，求面积的最大值.

【解析】

（1）因为，

由正弦定理得，

所以，

所以，???????????????????????

又因为，所以，所以，????????????????

又因为，所以；

（2）因为为中线，所以，

所以，

所以，即（当且仅当时等号成立），

所以（当且仅当时等号成立），

经检验：当时，符合题意；即的最大值为.

1.最值问题:这类问题通常涉及求三角形的最大或最小面积、周长等。解决方法包括使用正弦定理和余弦定理，结合均值不等式、二倍角公式等数学工具进行求解。例如，题目中给出角度和边的关系，可以通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，再利用均值不等式求解

2.恒等变换:这类问题需要利用三角恒等式进行变换和化简。例如，利用三角恒等式展开待求式，求解sinA和cosA的值，再利用正弦定理求解。此外，还可以通过二倍角公式展开，得到所需的结果。

3.图形问题:这类问题通常涉及根据给定的图形条件求解边的长度或角度。解决方法包括使用正弦定理和余弦定理。例如，