3.2.2 双曲线的简单几何性质（1）说课稿-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

3.2.2双曲线的简单几何性质（1）说课稿-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

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教学内容

本节课的教学内容为2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册第三章第二节第二部分：“3.2.2双曲线的简单几何性质（1）”。

本节课主要讲解双曲线的简单几何性质，包括双曲线的定义、标准方程、图形特征以及渐近线的概念。具体内容包括：

1.双曲线的定义及标准方程。

2.双曲线的图形特征，如对称性、中心、顶点、焦点、实轴、虚轴等。

3.双曲线的渐近线及其方程。

4.双曲线的简单几何性质在实际问题中的应用。

核心素养目标

1.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，通过探究双曲线的几何性质，发展学生的直观想象与数学抽象素养。

2.增强学生运用数学语言表达几何性质的能力，提升数学建模素养。

3.引导学生在解决实际问题时，能够运用双曲线的几何性质，发展数据分析与数学应用素养。

4.培养学生独立思考、合作交流的能力，提高其数学思维品质和学习能力。

教学难点与重点

1.教学重点

-双曲线的定义与标准方程：理解双曲线的定义是本节课的核心，包括点到两焦点的距离差为常数的概念。标准方程的推导是重点，需要学生掌握如何从双曲线的定义出发，通过代数运算得到标准方程。

-双曲线的图形特征：包括双曲线的对称性、中心、顶点、焦点、实轴、虚轴等基本特征，这些是理解双曲线性质的基础。

-双曲线的渐近线：掌握渐近线的概念和方程，理解渐近线在双曲线图形中的作用和意义。

2.教学难点

-双曲线定义的理解：学生可能难以理解“点到两焦点的距离差为常数”的抽象概念，可以通过实际图形的示例和动画演示来帮助学生形象化理解。

-标准方程的推导过程：推导过程中涉及到的代数变换可能对学生来说较为复杂，可以通过逐步分解步骤、使用具体数值举例来简化推导过程。

-渐近线概念的建立：渐近线的概念比较抽象，学生可能难以理解其与双曲线图形的关系。可以通过实际图形的观察和方程的分析，让学生理解渐近线是双曲线在无限远处趋近的直线。

-双曲线性质的应用：将双曲线的几何性质应用于解决实际问题，如求双曲线的交点、分析双曲线图形的变化等，这些应用问题可能对学生来说较为困难。可以通过设计针对性的练习题，引导学生逐步掌握解题方法。

教学方法与手段

1.教学方法

-讲授法：通过系统讲解双曲线的定义、标准方程和几何性质，使学生掌握基础知识。

-讨论法：分组讨论双曲线的图形特征和渐近线的概念，促进学生之间的交流与合作。

-练习法：通过大量的练习题，巩固学生对双曲线性质的理解和应用能力。

2.教学手段

-多媒体教学：使用PPT展示双曲线的图形和性质，增强直观性。

-动画演示：利用动画软件展示双曲线的生成过程和渐近线的形成，帮助学生理解。

-在线互动平台：利用在线教学平台进行实时问答和作业反馈，提高教学互动性和效率。

教学过程

一、导入新课

1.复习回顾：同学们，上一节课我们学习了椭圆的几何性质，谁能告诉我椭圆的定义和标准方程？

2.提问引导：很好，今天我们将学习另一种重要的二次曲线——双曲线。大家有没有想过，双曲线与椭圆有什么不同之处？

3.展示图片：现在请大家看大屏幕，这里有一些双曲线的图形，观察它们的特点，并与椭圆进行对比。

二、探究双曲线的定义

1.引导探索：请大家拿出纸笔，跟随我一起画图。假设我们在平面上有两个定点F1和F2，我们取一条线段AB，使得|AB|大于|F1F2|，然后将线段AB的两个端点分别向F1和F2移动，但始终保持|AB|的长度不变。请大家思考，这样移动线段AB的过程中，端点A和B的轨迹是什么图形？

2.学生尝试：给大家一分钟的时间，尝试画一下这个图形，并观察其特点。

3.总结定义：经过大家的尝试，我们可以发现，当线段AB的长度大于|F1F2|时，端点A和B的轨迹是两条无限延伸的曲线。这就是双曲线的定义：平面上所有到两个定点的距离之差为常数的点的集合。

三、学习双曲线的标准方程

1.推导过程：现在我们知道了双曲线的定义，接下来我们来推导双曲线的标准方程。假设双曲线的两个焦点分别是F1(-c,0)和F2(c,0)，我们取双曲线的右支，设一个动点P(x,y)在双曲线上，根据双曲线的定义，我们有|PF1|-|PF2|=2a。

2.学生参与：请大家拿出计算器，和我一起计算|PF1|和|PF2|的平方差，看看能得到什么结论。

3.总结方程：经过计算，我们发现|PF1|^2-|PF2|^2=4a^2。由于|PF1|^2=(x+c)^2+y^2，|PF2|^2=(x-c)^2+y^2