2024-2025学年试题数学三十五直线与平面垂直（2）.docx

三十五直线与平面垂直(2)

(时间:45分钟分值:90分)

【基础全面练】

1.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1,则()

A.B1B⊥l

B.B1B∥l

C.B1B与l异面但不垂直

D.B1B与l相交但不垂直

【解析】选B.因为B1B⊥平面A1B1C1D1,又因为l⊥平面A1B1C1D1,所以l∥B1B.

【补偿训练】

△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,若m与l不重合,则直线l,m的位置关系是()

A.相交 B.异面

C.平行 D.不确定

【解析】选C.因为l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC,同理m⊥平面ABC,所以l∥m.

2.(5分)直线l垂直于平面α,m?α,则有()

A.l∥m B.l和m异面

C.l和m相交 D.l和m不平行

【解析】选D.因为l⊥α,m?α,所以l⊥m,则l和m可能相交,也可能异面,即l和m不平行.

3.(5分)地面上有两根相距a米的旗杆,它们的高分别是b米和c米(bc),则它们上端的距离为()

A.a2+b2

C.a2+b2-c

【解析】选D.如图,由线面垂直的性质定理可知AB∥CD,作AE⊥CD于E,

则DE=bc,故AD=a2

4.(5分)(多选)如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中正确的是()

A.PD⊥BD

B.PD⊥CD

C.PB⊥BC

D.PA⊥BD

【解析】选BCD.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,PA⊥CD,PA⊥BC,又AD⊥CD,BC⊥AB,所以CD⊥平面PAD,BC⊥平面PAB,所以PD⊥CD,PB⊥BC,选项BCD正确;若PD⊥BD,PA∩PD=P,所以BD⊥平面PAD.又AB⊥平面PAD,所以BD∥AB,不成立.

5.(5分)已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,棱AA1=12,AB=5,则B1C1到平面A1BCD1的距离为()

A.5013 B.5513 C.6013

【解析】选C.如图,因为B1C1∥BC,且B1C1?平面A1BCD1,BC?平面A1BCD1,所以B1C1∥平面A1BCD1.

所以点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.

过点B1作B1E⊥A1B于点E.由题意知BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.因为BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,

所以线段B1E的长即为所求.在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·B

所以点B1到平面A1BCD1的距离为6013

6.(5分)(多选)矩形ABCD沿BD将△BCD折起,使C点在平面ABD上的投影在AB上,折起后下列关系正确的是()

A.△ABC是直角三角形

B.△ACD是直角三角形

C.AD∥BC

D.AD⊥BC

【解析】选ABD.折起后将C点记为P点,设P在AB上的投影为O,

由PO⊥底面ABD,可得PO⊥AD,又由AB⊥AD,可得AD⊥平面PAB,进而AD⊥PB,

又由PD⊥PB,故PB⊥平面PAD,故PB⊥PA,

即折起后△ABC是直角三角形,故A正确;

由A中,AD⊥平面PAB,

可得AD⊥PA,即折起后△ACD是直角三角形,故B正确;

折起后AD与BC异面,故C错误;由A中,AD⊥平面PAB,可得AD⊥PB,即AD⊥BC,故D正确.

7.(5分)已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF=__________.?

【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以EF=AD=6.

答案:6

8.(5分)线段AB在平面α的同侧,点A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为__________.?

【解析】如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,所以MM1=4.

答案:4

9.(5分)正三棱锥的底面边长都是2,侧棱两两垂直,则顶点到底面的距离是________.?

【解析】设顶点到底面的距离为h,

由题意知,侧棱长为2,

则13×34×22·h=13×12×2×

所以h=63

答案:6

10.(10分)如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a?β,a⊥AB.求证:a∥l.

【证明】因为EA⊥α,α∩β=l,即l?α,所以l⊥EA.

同理l⊥EB.又EA∩EB=E,

所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β,a?β,所以EB⊥a,

又a⊥AB,EB∩AB=B,

所以a⊥平面E