【权威 含答案解析】天津冲刺2025年高考数学大题突破大题预测02（A+B+C三组解答题）（解析版）.docxVIP

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大题预测02（A组+B组+C组）

【A组】

（建议用时：60分钟满分：75分）

四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求实数的值；

(2)求的单调区间和极值.

【解析】（1），

由题意知，，所以

又因为，所以；

（2）由（1）知，

当时；当时，；

当时，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

当时，取得极大值；

当时，取得极小值，

16.（15分）在中，角所对的边分别为，已知．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

【解析】（1）设，，则根据余弦定理得，

即，解得（负舍）；

则.

（2）法一：因为为三角形内角，所以，

再根据正弦定理得，即，解得，

法二：由余弦定理得，

因为，则

（3）法一：因为，且，所以，

由（2）法一知，

因为，则，所以，

则，

.

法二：，

则，

因为为三角形内角，所以，

所以

17．（15分）如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.

(1)求证：；

(2)若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.

【解析】（1）因为，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，所以，

底面圆，而底面圆，则，

，，平面，所以平面，????

因为平面，所以.

（2）因为，圆锥的体积为，所以，所以，????

因为，为的中点，所以，

因为平面，平面，所以，

因为，平面，所以平面，

即平面的法向量为，????

显然，

又底面圆，底面圆，

所以，

所以，，两两垂直，

以为原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，，

由题意，

点在圆上，则，如图所示，

在中，，则，

过作轴的垂线，垂足为，

有，，则，

得，

所以，，，????

设平面的法向量为，所以，

令，则，所以，????

设平面与平面的夹角为，则.

所以平面与平面夹角的余弦值为.

18．（15分）（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．

(1)求椭圆的方程和离心率；

(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．

【解析】（1）如图，

??

由题意得，解得，所以，

所以椭圆的方程为，离心率为.

（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，

设直线的方程为，

联立方程组，消去整理得：，

由韦达定理得，所以，

所以，.

所以,,，

所以，

所以，即，

解得，所以直线的方程为.

19．（16分）

泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．

(1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；

(2)当时，比较与的大小，并证明；

(3)设，证明：．

【解析】（1）因为，

所以

所以的泰勒公式为：，

所以

（2）记，

因为，所以在上单调递增，

又，所以时有，

所以.

（3）由（2）知，，即，

所以，

即.

令，则，

所以在上单调递减，所以，故，

所以，

则，即.

综上，时，.

【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证.

【B组】

（建议用时：60分钟满分：75分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）在中，内角所对的边分别为．

(1)求的值；

(2)若，

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求的值．

【解析】（1）因为，

且，，所以，

所以，

由正弦定理有，

所以．

（2）（ⅰ）因为，所以，

由余弦定理得，

解得或（舍），所以的值为8．

（ⅱ）因为，又因为，

所以，

法（一），

因为，

所以，所以，

．

法（二）因为，所以，

则

，

又，

所以．

16．（15分）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

【解析】（1）当时，则，，

可得，，

即切点坐标为，切线斜率，

所以切线方程为，即.

（2）解法一：因为的定义域为，且，

若，则对任意恒成立，

可知在上单调递增，无极值，不合题意；

若，令，解得；令，解得；

可知在内单调递减，在内单调递增，

则有极小值，无极大值，

由题意可得：，即，

构建，则，

可知在内单调递增，且，

不等式等价于，解得，

所以a的取值范围为；

解法二：因为的定义域为，且，

若有极小值，则有零点，

令，可得，

可知与有交点，则，

若，令，解得；令，解得；

可知在内