【权威 含答案解析】天津冲刺2025年高考数学大题突破大题预测04（A+B+C三组解答题）（解析版）.docxVIP

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大题预测04（A组）

（建议用时：60分钟满分：75分）

四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且，角A的平分线交BC于D，且BD=2DC．

(1)求角A；

(2)若AC=3，求AD的长．

【解析】（1）由和正弦定理，可得，

因sinB

则，

即，

因为sinC≠0，则得

因0Aπ，则A=π3

（2）

如图，因AD是∠CAB的平分线，则ABAC=

又S△

则12

即，解得.（14分）

16．（15分）设Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为12

(1)求数列an

(2)证明：当n3时，Tn

【解析】（1）由题意得，

???????????????①，

当n≥2时，2Sn?1

由①?②得：2an

．

又n=1时，a1=1满足.

（2）由an=n得bn

①当n为偶数时，T

此时，，故Tn

②当n为奇数时(n3)，

综上，当n3时，Tn

17．（15分）如图1，在面积为534的等腰梯形ABCD中，AB//CD，点E为CD的中点，AB=1，CD=4，把△BCE与△ADE分别沿BE，AE折起，使点

?????

(1)求证：PE⊥

(2)求直线PE与平面PAB所成角的正弦值.

【解析】（1）证明：在面积为534的等腰梯形ABCD中，因为AB=1，

设梯形ABCD的高为，则，所以?=32

则AE=BE=3

所以△ABE是正三角形，.

在三棱锥P?ABE中，，AP=BP，

取AB的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AB，

因为PF∩EF=F，PF，平面PEF，所以AB⊥平面PEF，

因为PE?平面PEF，所以PE⊥

法二：在面积为534的等腰梯形ABCD中，因为AB=1，

设梯形ABCD的高为，则，所以?=32

则AE=BE=3

所以△ABE是正三角形，.

延长EA到M，使得EA=AM，延长EB到N，使得EB=BN，

连接PM，PN，MN，则四面体EPMN是棱长为2的正四面体.

作EO⊥平面PMN，垂足为O，以点O为原点，在平面PMN内过点O与PM垂直的直线为x

过点O与PM平行的直线为y轴，直线OE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P33,?1,0，M33

因为A，B分别为EM，EN的中点，所以A36,

（1）证明：PE=?3

所以PE?

所以PE⊥AB

（2）由（1）知，AB⊥平面PEF，

因为AB?平面PAB，所以平面PEF⊥平面PAB，

所以点E在平面PAB上的射影在PF上，

所以是直线PE与平面PAB所成的角.

由（1）知△ABE是边长为1的正三角形，EF=32，

在△PAE中，，

PF=P

在△PEF中，，

所以.

所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为2211.

法二：由（1）知PE=?33,1,

设平面PAB的一个法向量n=(x,y,z)，则n?

令x=1，得y=?3，z=52

设直线PE与平面PAB所成角为θ，则sinθ

即直线PE与平面PAB所成角的正弦值为2211.

18．（15分）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=43,E,F,G,H分别是矩形四条边的中点，设，其中0λ1，直线EP和GQ的交点K在椭圆L:

??

(1)求椭圆L的方程；

(2)设，过点的动直线与椭圆L交于M,N两点，直线分别交圆于S,T两点，设直线的斜率分别为k1,k2．

①求证：k1

②直线ST是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

【解析】（1）由题可知，

直线PE的方程为：，可化为，

直线GQ的方程为：，可化为，

则两式联立得，所以椭圆方程为.（4分）

（2）①设直线MN的方程为：y=kx?3，Mx1

与椭圆L的方程：联立消去y可得：3+4k2

则Δ0，，

所以k

=k

代入，可得k1?k

??

②设直线ST的方程为：y=mx+n，Sx3,

联立直线ST与圆H0

消去y可得1+m

则，

所以k

=

=m

代入，可得．

综上，直线ST恒过定点0,83

19．（16分）已知a≠0，函数fx=ax+1

(1)求a；

(2)证明：对任意的m，n∈0,+∞，都有f

(3)若存在实数x0，使得k?2x?1fx成立，求

【解析】（1）f

因为fx在x=

所以f1?ee

解得a=1．

经验证当a=1时，fx在x=

故a=1．（4分）

（2）对任意的m，n∈0,+∞，设φx=f

由（1）知fx=lnx+1

所以当x∈0,+∞时，fx+nfx

因为m0，所以φmφ0

故fm+nf

（3）存在实数x0，使得k?2x?1fx成立，即

令gx=x+1lnx+1+2x+1x

令?x=x?1?lnx+1，则

故?x在0,+∞

又?2=1?ln

故存在唯一的x0∈2,3，使得?

当0x