【权威 北京专用 含答案解析】冲刺2025高考数学大题突破培优专题05函数与导数.docxVIP

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培优专题05函数与导数

题型1利用导数求函数单调性

利用导数求函数单调性，解题的思路是：

1、利用导数求函数单调区间的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；

（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．

或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．

2、含参数单调性讨论：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图像定区间；

1．（2025·江西九江·一模）已知函数，曲线在处的切线经过点

(1)求；

(2)若，判断的单调性：

(3)当时，，求的取值范围．

【答案】(1)(2)函数在上单调递增(3)

【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，再结合斜率公式列出等式求解即可；

（2）通过二次求导，结合导数与单调性的关系即可判断；

（3）由，得，再由时，原不等式等价于构造函数求导，确定最值即可求解；

【详解】（1）

，切线斜率．

又切线经过点

解得．

（2）由（1）知，，令，则

当时，在上单调递减，当时，在上单调递增

在上单调递增

（3）由题意得对任意的成立．

①当时，

②当时，原不等式等价于

设，则

由（2）知，当时，对任意的成立，即．

当时，，单调递增，当时，，单调递减

，故的取值范围是

2．（2024·四川德阳·模拟预测）设函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求的值；

(3)设，若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析(2)(3)

【分析】（1）首先要通过求导来分析函数的单调性，分类讨论根据导数的正负判断函数的增减区间；

（2）根据（1）的结论，对于恒成立问题，结合函数的单调性找到最值，计算即可；

（3）通过换元和参变分离，借助导数求最值，来确定参数的取值范围.

【详解】（1）对求导，可得.

令，则.

当时，恒成立，所以在上单调递增.

又，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增.??

当时，令，解得.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

.

令，对其求导得.

令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

.

当时，，又，所以存在使得，当时，，即，单调递减；当或时，，即，单调递增.

当时，，即，在上单调递增.

当时，，即，在上单调递增.???

综上所得，当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在单调递减，在和单调递增；

当时，在上单调递增.

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，且，所以恒成立，故.

（3）已知，恒成立，

即恒成立.

移项可得恒成立.

令，则可化为（）.

令，对其求导得，所以在上单调递增，且，所以恒成立，即恒成立.

即恒成立，也就是恒成立.

令，对其求导得.

令，解得或.

当或时，，单调递减；

当时，，单调递增.

，所以.

3．（2025·广东·一模）已知函数，函数.

(1)讨论和的单调性；

(2)记函数，若为减函数，且存在，使得，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析(2)

【分析】（1）应用分类讨论得出导函数的正负即可得出函数的单调性；

（2）先根据函数单调递减得出，再换元构造新函数进而得出求导转化即可求解.

【详解】（1）在上单调递增，.

当时，单调递减；

当时，单调递增.，

当时，单调递减，当时，单调递增.

综上所述，在上单调递减，上单调递增；

在上单调递减，在上单调递增.

（2）的定义域为，且为奇函数，我们只需要考虑的情况.

.

即，令.

.

令.

令，且在上单调递增.

（i）若，则，故单调递增，，满足题意；

（ii）若，则存在，使得时且，即，矛盾，故，即.

于是问题转化为：已知.

1）若，则，此时，矛盾；

2）若，则由（1）知，解得，

故的取值范围为，

题型二：利用函数求最值与极值问题

利用函数求最值与极值问题，解题的思路是：

1、求函数最值的的基本步骤.

若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；

（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．

2、必备知识：①求函数的最值时，不需要