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培优专题06数列新定义型综合题

题型1数列新定义型与函数综合

1、数列新定义型与函数综合类型：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

2、数列新定义型与函数综合解题思路

（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；

（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；

（3）将已知条件代入新定义的要素中；

（4）结合数学知识进行解答.

3、数列新定义型与函数综合步骤

（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

1．（2024高三·全国·专题练习）设数列，其中，，若同时满足①或；②对于任意，都存在使得（且两两不相等），则称数列为数列．

(1)当，时，求满足条件的数列的个数；

(2)记，若．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）在的条件下，求的概率．

【答案】(1)只有一个(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）

【分析】（1）由数列满足的两个条件，确定数列中各项的规律，确定满足条件的数列的个数．

（2）（ⅰ）设数列中出现的频数分别为，进而有，，同理，，再利用等差数列前n项和公式求解；（ⅱ）由（ⅰ）中结论，结合得到，分别讨论当时，数列的情况，然后利用古典概型概率求解.

【详解】（1）当，时，，，

由条件①知或2．

又由条件②对于任意，都存在使得且两两不相等），

可得满足条件的数列只有一个，且为1，1，1，1，2，2，2，2．

（2）（ⅰ）证明：当时，

设数列中出现的频数分别为，

由题意知，

若，则有（对任意）与已知矛盾，

故，同理可得，

若，假设，则存在唯一的，使得，

那么对于任意不同于1，的则有，与已知矛盾，

所以，同理可得，

所以

．

（ⅱ）由（ⅰ）知，即，解得，

又，所以，所以且为整数，

所以，

当时，数列，只有1组；

当时，数列可以表示为，

满足条件，，的有，，…，共19组；

当时，数列可以表示为，，

满足条件，，，的有

，共85组；

当时，数列可以表示为，

满足条件，，，，的有94组；

当时，数列可以表示为，

满足条件，，，，，的有29组；

当时，数列可以表示为，只有1组，

所以满足的数列共有229组，其中的有124组，

所以的概率为．

2．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列．

(1)写出数列的阶差数列；

(2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式；

(3)若数列的首项，且，求数列的最小值．

【答案】(1)；(2)；(3).

【分析】（1）根据阶差数列的定义，写出已知数列的阶差数列；

（2）根据已知得，应用累加法求通项公式即可；

（3）由已知得，累加法求数列的通项公式，令，则并确定单调性，进而求数列的最小值.

【详解】（1）由题意，得，；

，所以2阶数列为．

（2）因为，又，所以，

所以，

累加得，即，

所以．

（3）因为，及，得，

又，所以，两边同除，得，

当时，

，

所以，时也满足，

所以，

令，则，

当时，函数单调递减，当时，函数单调递增

而，所以，即时，取得最小值为．

3．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”．

(1)若，判断数列是否为“封闭数列”；

(2)已知递增数列为“封闭数列”，求；

(3)已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列．

【答案】(1)不是“封闭数列”，理由见解析(2)(3)证明见解析

【分析】（1）举出反例，得到数列不是“封闭数列”．

（2）数列递增，由求出，通过分析得到都是中的项，所以，得，由，得，所以；

（3）数列单调递增，所以是中的项，即，且是中的项，推出，根据上式的项数得到，同理得到，两式结合得到，证明出结论.

【详解】（1）由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．

因为和均不是中的项，

所以数列不是“封闭数列”．

（2）由题意数列递增可知，则不是中的项，

所以是中的项，即．

因为，所以都是中的项，

所以，得，

由，得，所以．

（3）因为数列单调递增，所以，则不是中的项，

所以是中的项，即．

因为不是中的项，所以是中的项，

所以．

因为共有项，

所以①，

类似地，，则不是中的项，

所以是中的项，

，

所以②