【权威 北京专用 含答案解析】冲刺2025高考数学大题突破三角函数、三角恒等变换与解三角形.docxVIP

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培优专题01三角函数与解三角形

题型1三角恒等变换与三角函数

此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：

（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)

（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，

2、再通过辅助角公式“化一”，化为

3、辅助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).

4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：

一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。

1．（2024·陕西西安·一模）已知函数．

(1)求函数的对称中心与对称轴；

(2)当时，求函数的单调递增区间及的最值及取得最值时x的集合．

【答案】(1)对称中心为，，对称轴为，，

(2)的单调递增区间为和,当时，取最大值为1,

时，取最小值为.

【分析】（1）用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式及辅助角公式化简为，再用整体的思想求解函数的对称中心与对称轴;

（2）先求在的上的单调递区间，再取与区间上的交集部分即可.先求的范围，再结合正弦函数的图象求函数的最值；

【详解】（1）∵

，

令，解得，

所以对称轴为；

令，解得，

所以对称中心为.

（2）由（1）得，

令，

得，

又因为，所以的单调递增区间为和.

∵，

∴，

∴，

所以的最大值1，最小值.

当时，时，取最大值为1,此时的集合为，

当时，时，取最小值为.此时的集合为.

2．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)当时，求的值域；

(3)若且，求的值.

【答案】(1)单调递增区间：，单调递减区间：

(2)(3)

【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性求解；

（2）利用正弦函数的性质求值域；

（3）根据正弦的两角差公式求解.

【详解】（1），??????????

当时，单调递增，

即，?????????????????????????????????

∴的单调递增区间：，

当时，单调递减，

即，??

的单调递减区间：；

（2）∵，∴，???????????????????????????????

∴，?????????????????????????????????????????

∴的值域为；

（3）∵，??

∵，∴，

∴，???????????????????????????????????????????????

∴.

3．（2024·辽宁本溪·一模）已知函数.

(1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值；

(2)讨论在上的单调性.

【答案】(1)，最大值为，

(2)单调增区间为，单调减区间为

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值；

（2）利用整体代入法可得函数的单调区间.

【详解】（1），

所以的最小正周期，

当时，取最大值为，此时，，即，；

（2）当时，有，

从而时，即时，单调递增，

时，即时，单调递减，

综上所述，单调增区间为，单调减区间为.

题型二：正余弦定理解三角形的边与角

利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；

2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

1．（2025·新疆·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其面积.

(1)求的值；

(2)若，且，求.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解，

（2）根据正弦定理边化角可求解，进而利用同角关系求解的正余弦，即可根据余弦的和差角公式求解，进而利用余弦定理即可求解.

【详解】（1）由已知得，

由正弦定理可得：，

.

（2）由可