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一、题目：
关于x,y,t,u,v,w的下列方程组
以及关于z,t,u的下列二维数表
zu
t
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0
-0.5
-0.34
0.14
0.94
2.06
3.5
0.2
-0.42
-0.5
-0.26
0.3
1.18
2.38
0.4
-0.18
-0.5
-0.5
-0.18
0.46
1.42
0.6
0.22
-0.34
-0.58
-0.5
-0.1
0.62
0.8
0.78
-0.02
-0.5
-0.66
-0.5
-0.02
1.0
1.5
0.46
-0.26
-0.66
-0.74
-0.5
确定了一个二元函数z=f(x,y)。
1、试用数值方法求出f(x,y)在区域上的一个近似表达式
要求一最小的k值达到以下的精度
其中，。
2、计算（i=1,2,…，8；j=1,2,…，5）的值，以观察逼近的效果，其中，=0.1i,=0.5+0.2j。
说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量满足
2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。
3、要由程序自动确定最小的k值。
4、打印以下内容：
●算法的设计方案。
●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。
●数表：（i=0,1,2,…,10；j=0,1,2,…,20）。
●选择过程的值。
●达到精度要求时的值以及中的系数（r=0,1,…,k;s=0,1,…,k）。
●数表：（i=1,2,…,8；j=1,2,…,5）。
5、采用f型输出的准确值，其余实型数采用e型输出并且至少显示12位有效数字。
二、算法设计方案
1.使用牛顿迭代法，对原题中给出的，，()的11*21组分别求出原题中方程组的一组解，于是得到一组和对应的。
2.对于已求出的，使用分片二次代数插值法对原题中关于的数表进行插值得到。于是产生了z=f(x,y)的11*21个数值解。
3.从k=1开始逐渐增大k的值，并使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，得到每次的。当时结束计算，输出拟合结果。
4.计算的值并输出结果，以观察逼近的效果。其中。
三、算法实现方案
1、求：
（1）Newton法解非线性方程组
，
其中，t,u,v,w为待求的未知量，x,y为代入的已知量。
设，给定精度水平和最大迭代次数M，则解该线性方程组的迭代格式为：
迭代终止条件为，若时仍未达到迭代精度，则迭代计算失败。
其中，雅可比矩阵
，
，
（2）分片双二次插值：
根据题目给出的表格，
（其中，）
对于给定的,如果满足
则选择为插值节点，相应的插值多项式为
其中，
如果,则在式（2）中取i=1或i=4;如果,则在式（2）中取u=1或u=4。
在区域上，将(i=0,1,…,10;0.5+0.2j,j=0,1,…20)代入到非线性方程组（1）中，用Newton法解出，再由分片双二次插值得，则有（i=0,1,…,10;j=0,1,…,20），即求出了。
2、求：
乘积型最小二乘拟合曲面：
（1）求系数矩阵C：
其中，
计算中涉及到对矩阵求逆，接着在后面将会具体说明列主元的高斯消去法求矩阵的逆的方法。
（2）确定最小的k值，拟合曲面：
设，给定精度水平和最大迭代次数N，则确定最小k值的迭代格式为：
迭代终止条件为，若时仍未达到迭代精度，则迭代计算失败。
待确定满足精度条件的最小k值后，就可以进行曲面拟合计算了。
3、关于列主元的高斯消去法求矩阵的逆：
设非奇异矩阵，且，则
，
对B和I列分块，有
即
其中，
应用列主元的高斯消去法线性解方程组，
则即为A的逆。
注：若A不可逆，则此算法失效。
四、源程序
#includeiostream
//zhhfshzhfx3.cpp:定义控制台应用程序的入口点。
//
#includestdio.h
#includecmath
constintM=500;//迭代最大次数
constdoubleE=1.0e-12;//确定牛顿迭代精度水平
constdoubleE1=1.0e-7;//确定拟合精度水平
constintkmax=9;//k的最大值
constdoublematrix[6][6]={
{-0.5,-0.34,0.14,0.94,2.06,3.5},
{-0.42,-0.5,-0.26,0.3,1.18,2.38},
{-0.18,-0.5,-0.5,-0.18,0.46,1.42},
{0.22,-0.34,-0.58,-0.5,-0.1,0.62},
{0.78,-0.02,-0.5,-0.66,-0.5,-0.02
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