2024-2025学年江苏省南通大学附属中学高一下学期第一次阶段考试数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年江苏省南通大学附属中学高一下学期第一次阶段考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“cos2α=?13”是“cosα=

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB=a，AD=b，则BN=

A.?23a+13b B.

3.平面向量与的夹角为π3，a=2,0,b=1，则a

A.23 B.22 C.

4.已知α∈(0,π2)，且cos(α+π

A.3?326 B.3?

5.已知向量a=b=1,c=3

A.?12 B.?32

6.在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|=14|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xBA

A.22 B.43 C.

7.已知cos(α+β)=2m，tanαtanβ=3，则

A.?4m B.?m4 C.m4

8.?ABC是边长为2的正三角形，P为?ABC所在平面内任意一点，则PA?PB+

A.?12 B.?32 C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知两个不共线的单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(????)

A.e1在e2上的投影向量为cosθe2 B.e1

10.已知向量a=(cosα,sin

A.|a?b|的最大值为5+1

B.若|a+b|=|a?b|，则tan

11.如图，已知?ABC中，B=2π3，AB=BC=2，M是AC的中点，动点P在以AC为直径的半圆弧上，则(????)

A.2BM=BA+BC

B.BP?BC最小值为?2

C.BM在BC上的投影向量为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设平面向量a=(sinθ,1)，b=(cosθ,3)，若a

13.已知A2,3，B4,?3，点P在线段BA的延长线上，且2BP=3AP，则点P的坐标是??????????．

14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC中点，连接AE.将?ABE沿AE折叠，点B落在点F处，则sin∠DAF的值为??????????．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知a=?1,0，

(1)若AB=2a?b，BC=a+mb且

(2)当实数k为何值时，ka?b与

16.(本小题15分)

在Rt?ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，E，F分别为边AB、BC上的点，且AE=EB，

(1)用向量方法求证：CE⊥AF；

(2)求cos∠AFC．

17.(本小题15分)

已知α、β为锐角，sinα=2

(1)求tan2α

(2)求α+2β的大小．

18.(本小题17分)

如图，在平面直角坐标系中，角α和β的终边与单位圆分别交于P，Q两点．

(1)若OP+OQ=

(2)若α=π6，OP?OQ

19.(本小题17分)

如图，在?ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，BD=2

(1)求AE?

(2)线段BC上是否存在一点P，使得CD⊥AP？若存在，请求出点P的位置，若不存在，请说明理由；

(3)若O是?ABC内一点，且满足OC+2OB+mOA=

参考答案

1.A?

2.A?

3.A?

4.D?

5.D?

6.D?

7.A?

8.B?

9.ABC?

10.AD?

11.ABD?

12.33?或

13.?2,15?

14.725

15.解：(1)由题意可得，AB=(?4,?1)，BC

且A,B,C三点共线，则可得AB//

即?4m?2m?1

解得m=?1

(2)由题意可得，ka?b

因为ka?b与a

解得k=?8

?

16.解：(1)因为AE=EB，所以CE=

又因为2BF=FC，所以AF=

因为∠BAC=90°，AB=AC=1，所以

所以CE?

即CE?

(2)由题意FA?

AF=

由勾股定理可得BC=BC=

所以cos∠AFC=

?

17.解：(1)

因为α∈0,π2

所以cosα=

所以tanα=

所以tan2α=

(2)

因为tanβ=13

所以tan(α+2β)=

因为tanα=17

所以0απ

因为tan2β=34

所以02βπ

所以0α+2βπ

所以α+2β=π

?

18.解：(1)由图可知点OP的坐标为cosα,sinα，点OQ

所以OP

即得cos

则cos

所以cosα?β

(2)由OP

=

解得cosβ?α

又因为α=π6

所以cos

即cos