2025版新教材高中数学第二章平面解析几何3圆及其方程3直线与圆的位置关系学案新人教B版选择性必修第一册.docxVIP

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直线与圆的位置关系

课标解读

课标要求

素养要求

1.能依据给定的直线、圆的方程，推断直线与圆的位置关系.

⒉能用直线和圆的方程解决一些简洁的数学问题与实际问题

1.直观想象——能借助图形理解直线与圆的位置关系及切线、弦长问题

⒉数学运算——能利用代数运算解决直线和圆的方程问题

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

1.如图

（1）所示，直线与圆有①两个公共点时，称直线与圆相交，且称直线为圆的②割线；如图（2）所示，直线与圆只有③一个公共点时，称直线与圆相切，且称直线为圆的④切线，称公共点为切点；如图（3）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆⑤相离.

2.几何法推断直线和圆的位置关系

如图所示，假如⊙C的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则：

直线l与⊙C相交?⑥d＜r；

直线l与⊙C相切?d=r；

直线l与⊙C相离?⑦d＞r.

自主思索

1.若直线与圆有公共点，则直线与圆是什么位置关系？

答案：提示相交或相切

2.直线l:x=0与圆x2

答案：提示相交

名师点睛

1.代数法推断直线与圆的位置关系

联立直线的方程与圆的方程组成方程组Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2消去y

①Δ=0?直线与圆相切；

②Δ=0?直线与圆相交；

③Δ=0?直线与圆相离.

2.推断直线与圆位置关系的留意点

（1）利用代数法推断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个变量，得到关于x或y的一元二次方程，由Δ推断方程解的个数，利用解的个数推断直线与圆的位置关系.

（2）利用几何法推断直线与圆的位置关系时，必需求出圆心坐标，圆的半径r和圆心到直线的距离d，比较r与d的大小，进而进行推断.

（3）一般状况下，代数法运算比较烦琐，而几何法较简捷，是推断直线与圆位置关系的常用方法.

互动探究·关键实力

探究点始终线与圆位置关系的推断

精讲精练

例（1）（2024山东聊城高二期末）直线x-2y-1=0与圆x2

A.相切

B.相交且直线过圆心

C.相交但直线不过圆心

D.相离

（2）（多选）已知圆M:(x+cosθ)

A.对随意实数k和θ，直线l和圆M有公共点

B.对随意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切

C.对随意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切

D.存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3

答案：（1）C（2）A;C

解析：（1）圆x2+y2=1

因为圆心O(0,0)到直线x-2y-1=0的距离d=|0-0-1|

所以直线与圆相交但直线不过圆心.

（2）易知圆M:(x+cosθ)2+(y-

设圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l的距离为

所以对于随意实数k，直线l与圆相交或相切，所以C正确，B不正确；

易知圆上的点到直线l的距离最大值为d+1≤2，所以D不正确.

解题感悟

直线与圆的位置关系的推断方法：

（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系推断.

（2）代数法：依据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来推断.

（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过推断定点与圆的位置关系来推断直线与圆的位置关系.但有肯定的局限性，必需是过定点的直线系.

迁移应用

1.（2024宁夏青铜峡高级中学高二期中）直线3x+4y-13=0与圆(x-2)

A.相交B.相离C.相切D.无法判定

答案：A

解析：圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心是(2,3)，半径

2.（2024山东济南高二月考）直线y-x=0与圆(x-a)

A.相交B.相切

C.相离D.与a的取值有关

答案：C

解析：由(x-a)2+y2=14a

探究点二直线与圆相切问题

精讲精练

例（1）（2024山东聊城高二期中）已知圆C与直线x+y+3=0相切，直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为()

A.x2+

C.x2+

（2）过点A(4,-3)作圆(x-3)

答案：（1）D

解析：（1）在mx+y+1=0中，令x=0，则y=-1，

则直线mx+y+1=0过定点(0,-1).由于直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则点(0,-1)是圆C的圆心，

因为圆C与直线x+y+3=0相切，所以圆C的半径r=

所以圆C的方程为x2+(y+1)

答案：（2）因为(4-3)2+(-3-1

①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，

则切线方程为y+3=k(x-4)，即kx-y-4k-3=0.

设圆的圆心为C，则C(3,1)，因为圆心到切线的距离等于半径1，

所以|3k-1-3-4k|k2+1

所以k2+8k+16=k

所以切线方程为-158x-y+

②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1，

这时直线x=4与圆相切，切线