2024_2025学年高中数学第1章导数及其应用2.1几个常用函数的导数2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二学案新人教A版选修2_2.docVIP

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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

学习目标

核心素养

1.了解复合函数的概念(易混点)．

2．理解复合函数的求导法则，并能求简洁的复合函数的导数(重点、易错点).

1.通过复合函数求导公式的学习，培育学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．

2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，假如通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

思索：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？

[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

1．已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为()

A．1－sin1 B．1＋sin1

C．sin1－1 D．－sin1

A[因为f′(x)＝－sinx＋eq\f(1,x)，

所以f′(1)＝－sin1＋eq\f(1,1)＝1－sin1.故选A.]

2．函数y＝eq\f(1,?3x－1?2)的导数是()

A．y′＝eq\f(6,?3x－1?3) B．y′＝eq\f(6,?3x－1?2)

C．y′＝－eq\f(6,?3x－1?3) D．y′＝－eq\f(6,?3x－1?2)

C[∵y＝eq\f(1,?3x－1?2)，

∴y′＝－2×eq\f(1,?3x－1?3)×(3x－1)′

＝－eq\f(6,?3x－1?3).]

3．函数y＝ln(x－2)的导数是________．

[答案]y′＝eq\f(1,x－2)

4．函数y＝eq\r(sin2x＋1)是由________三个函数复合而成的．

[答案]y＝eq\r(u)，u＝v2＋1，v＝sinx

复合函数的导数

【例1】求下列函数的导数．

(1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq\f(1,?2x－1?3)；

(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.

[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)函数y＝eq\f(1,?2x－1?3)可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4

＝－6(2x－1)－4＝－eq\f(6,?2x－1?4).

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,?x－1?ln2).

(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．

∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′

＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.

1．解答此类问题常犯两个错误

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确推断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

[跟进训练]

1．求下列函数的导数．

(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；

(3)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(4)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).

[解](1)令u＝3x－2，

则y＝10u，

所以y′x＝y′u·ux′＝10uln10·(3x－2)′

＝3×103x－2ln10.

(2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu，

所以y′x＝y′u·u′x＝eq\f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq\f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq\f(ex＋2x,ex＋x2).

(3)设y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，

则y′x＝y′u·u′x＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).

(4)设y＝u－eq\f(1,2)，u＝1－2x，

则y′x＝y′u·u′x＝eq\b\l