2025届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.6离散型随机变量及其分布列学案理含解析北师大版.docVIP

PAGE

第六节离散型随机变量及其分布列

命题分析预料

学科核心素养

本节常以实际问题为背景，考查离散型随机变量的分布列，主要以解答题的形式呈现，解题时要熟识相关公式的应用．

本节通过实际问题中离散型随机变量的分布列，考查考生的数据分析、数学运算核心素养．

授课提示：对应学生用书第220页

学问点一离散型随机变量

1．离散型随机变量

随着试验结果改变而改变的变量称为随机变量，全部取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1，2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的概率分布列．

（2）离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0（i＝1，2，…，n）；②p1＋p2＋…＋pn＝1．

1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（）

A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数 D．取到的球的个数

解析：选项A，B表述的都是随机事务，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2．

答案：C

2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取得红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事务的是（）

A．X＝4 B．X＝5

C．X＝6 D．X≤5

解析：事务“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，所以X＝6．

答案：C

3．设随机变量X的分布列如下：

X

1

2

3

4

5

P

eq\f(1,12)

eq\f(1,6)

eq\f(1,3)

eq\f(1,6)

p

则p＝_________．

解析：由分布列的性质知，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，

所以p＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)．

答案：eq\f(1,4)

学问点二离散型随机变量的分布列

1．两点分布

像

X

0

1

P

1－p

p

这样的分布列叫做两点分布列．

假如随机变量X的分布列为两点分布列，就称X听从两点分布，而称p＝P（X＝1）为胜利概率．

2．超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事务{X＝k}发生的概率为P（X＝k）＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋，称分布列为超几何分布列．假如随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X听从超几何分布．

X

0

1

…

m

P

eq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))

eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))

…

eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))

?温馨提示?

利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要留意检验，以保证每个概率值均为非负数．

1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝4）＝_________．

解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P（X＝4）＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,9),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(27,220)．

答案：eq\f(27,220)

2．设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的胜利次数，则P（X＝0）＝_________．

解析：由已知得X的全部可能取值为0，1，且P（X＝1）＝2P（X＝0），由P（X＝1）＋P（X＝0）＝1，得P（X＝0）＝eq\f(1,3)．

答案：eq\f(1,3)

3．设随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

eq\f(1,3)

m

eq\f(1,4)

eq\f(1,6)

则P（|X－3|＝1）＝_________．

解析：由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，

P（|X－3|＝1）＝P（X＝2）＋P（X＝4）

＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)．

答案：eq\f(5