福建省龙岩市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学.docx

龙岩市2024~2025学年第一学期期末高一教学质量检测

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题共58分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．

1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）

A． B．

C． D．

2．若角终边上一点，则（）

A． B． C． D．

3．若函数的定义域为，则“在上单调递增”是“在上的最大值为”的（）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若，，，则它们的大小关系是（）

A． B． C． D．

5．若幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（）

A． B． C． D．

6．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示．已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（）

A． B．

C． D．

7．若，，则的值为（）

A． B．0 C． D．1

8．若函数，则函数的零点个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．无数个

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．

9．已知函数，则（）

A．的最小正周期为

B．将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像

C．的一个对称中心是

D．当时，函数的值域是

10．已知，，且，则（）

A． B．

C． D．

11．已知函数，则（）

A．函数为单调减函数

B．

C．若，使得成立，则

D．函数（且的图像与函数的图像的所有交点纵坐标之和为20

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．______．

13．函数（，）在一个周期内的图像如图所示，则______．

14．若函数的值域为，且，则的最大值为______．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数．

（1）用定义法证明函数在区间上单调递增；

（2）对任意的都有成立，求实数的取值范围．

16．（本小题满分15分）

已知函数．

（1）若，且，求的值；

（2）若，且，，求的值．

17．（本小题满分15分）

已知函数是偶函数．

（1）求实数的值；

（2）若函数的最小值为，求实数的值．

18．（本小题满分17分）

已知函数，其中，．

（1）若，且是函数的一条对称轴，求的最小值；

（2）若，且存在，，使成立，求的取值范围；

（3）若，，且不等式对恒成立，求的值．

19．（本小题满分17分）

双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数．

（1）证明：；

（2）求证：函数存在唯一零点且；

（3）令，对任意，，都有，求实数的取值范围．

龙岩市2024～2025学年第一学期期末高一教学质量检测数学参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

选项

C

B

C

D

B

A

A

B

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．

题号

9

10

11

选项

AC

ACD

BD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．13．14．

11．[解析]

对于A，易知当时，，时，

因此可得在以及上分别为单调递减函数，即A错误；

对于B，易知函数满足，因此可得关于对称，

即B正确；

对于C，由，即，

即在有解，易知,

所以可得，解得，即C错误；

对于D，画出函数以及的图像如下图所示：

易知也关于对称，的周期为4，

一个周期与有两个交点，所以与在共20个交点，即，故D正确．

故选：BD．

14．[解析]

，因为，所以，

所以函数值域为，故，

则

因为，当且仅当时取等号，

所以．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．

15．（本小题满分13分）

解：（1）证明：取任意，，且，

有

由，可得，

，即，

所以在上单调递增．（2）由在上单调递增，

可得在上，

依题意得，

又，当且仅当，

即时取等号，

所以，解得

所以实数的取值范围是

16．（本小题满分15分）

解：（1）， 3分

由，得，又，所以. 6分（2）由得，所以 7分

又，所以. 8分

由于，故，，，

所以，，故， 10分

，

所以

，

又因为

故．

17．（本小题满分