重难点专题05三角形中的范围与最值问题（9大题型）.docx

重难点专题05三角形中的范围与最值问题

【题型归纳目录】

题型一：周长问题

题型二：面积问题

题型三：长度问题

题型四：转化为角范围问题

题型五：倍角问题

题型六：与正切有关的最值问题

题型七：最大角问题

题型八：三角形中的平方问题

题型九：等面积法、张角定理

【方法技巧与总结】

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

(1)求角的最值；

(2)求边和周长的最值及范围；

(3)求面积的最值和范围.

【典例例题】

题型一：周长问题

【例1】在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，求的周长l的取值范围．

【解析】（1）因为，所以，

解得或（舍去），

又，所以.

（2）由正弦定理得，

所以，

因为，所以，

所以的周长，

即

，

又，所以，解得，所以，

所以，

所以，即的周长l的取值范围为.

【变式11】在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求B；

(2)若，求的周长l的取值范围．

【解析】（1）由正弦定理，得，

∵，，

∴，即，

又∵，则，

，则；

（2）由（1）及正弦定理可知，，

，

，

∴，

又，，∴，

∴，

∴，即，

∴的周长l的取值范围为．

【变式12】在中，角所对的边分别为，已知．

(1)求；

(2)已知，

（ⅰ）若的面积为，求的周长；

（ⅱ）求周长的取值范围．

【解析】（1）由题意及正弦定理可得，

整理可得：，

即，

在三角形中，可得，

即，解得.

（2）（ⅰ），可得，

由余弦定理可得，

又，则，解得，

所以三角形的周长为.

（ⅱ）,

又，则，当且仅当时取等号，

解得，而，所以，

所以三角形的周长为.

题型二：面积问题

【例2】在锐角中，角的对边分别为，已知

(1)求角；

(2)若，求面积的取值范围.

【解析】（1）由正弦定理得：，

即，

，

，

，又；

（2）由正弦定理得：,

,

，

在锐角中：，解得：，

，

,，

则.

【变式21】如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．

(1)求证：的周长为定值，并求出该定值；

(2)求面积的最小值．

【解析】（1）法一：设，，，，则，，

因为，所以，变形得①，

的周长为②，

将①变形得代入②，

所以，

又，所以，

所以的周长为定值2；

法二：延长至点，使，连接，

易得，则，，，

所以，则，

的周长为.

（2）法一：

，

由①得，当且仅当时取等号③，

将③变形得，，

所以或（舍去），

所以，

所以面积的最小值为，

法二：设，，则，，

由第一问知，，

所以，

因为，所以，展开得，

由基本不等式变形可得，解得，

所以，所以面积的最小值为.

【变式22】在中，角，，的对边分别为，，，且满足，．

(1)求周长的取值范围；

(2)求面积的最大值．

【解析】（1）由余弦定理得，

即．

又，所以，

当且仅当时，等号成立，

所以，所以．

即．

所以，当且仅当时，等号成立．

即周长的取值范围为．

（2）由余弦定理，得，

又，所以，即，

当且仅当时，等号成立，

所以，

即面积的最大值为．

【变式23】如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.

??

(1)求的取值范围；

(2)当变化时，求四边形面积的最大值.

【解析】（1）因为四边形的对角线交点位于四边形内部，

所以，又因为为正三角形，，所以.

在中，由余弦定理得，

又因，

将，代入并整理得且，解得，

所以的取值范围是；

（2）在中，由余弦定理可得，，

由（1）知，所以，

又因为为正三角形，所以，

又，

所以

，

所以当，即时，且成立，

四边形的面积取得最大值，最大值为.

题型三：长度问题

【例3】记的内角、、的对边分别为、、，已知，且.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的取值范围.

【解析】（1）因为，可得，

所以，，

因为、，且余弦函数在上单调递减，则，

当时，则，

由正弦定理可得，则，

因此，的面积为.

（2）由（1）可得，则，

由正弦定理可得，则，

因为，则，可得，

所以，，即的取值范围是.

【变式31】如图，内角的对边分别为，为边上一点，