11.2平面的基本事实与推论 课件 高一年级下册学期数学人教B版（2025）必修第四册31张PPT（含音频+视频）.pptVIP

11.2平面的基本事实与推论基础预习初探1.直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?2.观察图中的三脚架,你能得出什么结论?继续探究:(1)三点确定一个平面吗?提示:当三点在一条直线上时,不能确定一个平面,当三点不在同一条直线上时,确定一个平面.(2)直线和平面都是由点组成的,联系集合的观点,点和直线、平面的位置关系,如何用符号来表示?直线和平面呢?提示:点和直线、平面的位置关系可用数学符号“∈”或“?”表示,直线和平面的位置关系,可用数学符号“?”或“?”表示.【概念生成】平面的基本事实及推论基本事实内容图形符号基本事实1经过_______________的3个点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线?存在唯一的平面α使A,B,C∈α不在一条直线上基本事实2如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,且____________?l?α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条_____________________________?α∩β=l,且P∈l两个点过该点的公共直线A∈α,B∈αP∈α,P∈β推论1经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面(图①).推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).核心互动探究探究点一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【典例1】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.【思维导引】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”“?”“?”“?”“∩”的意义,在此基础上,由符号表示已知语句,写出相应的点、线、面的位置关系,画出图形.【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上;(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.【类题通法】文字语言、图形语言、符号语言的应用1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.【定向训练】如图所示,用符号语言可表示为 ()A.α∩β=l B.α∥β,l∈αC.l∥β,l?α D.α∥β,l?α【解析】选D.显然题干图中α∥β,且l?α.探究点二点、线共面问题【典例2】已知四条直线两两相交,且不共点,求证:这四条直线在同一平面内.【思维导引】四条直线两两相交且不共点,可能有两种情况:一是有三条直线共点;二是任意三条直线都不共点.【解析】已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:a,b,c,d四线共面.证明:(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,因为O?d,所以经过d与点O有且只有一个平面α.因为A,B,C分别是d与a,b,c的交点,所以A,B,C三点在平面α内.由基本事实2知a,b,c都在平面α内,故a,b,c,d共面;(2)若a,b,c,d无三线共点,如图所示,因为a∩b=A,所以经过a,b有且仅有一个平面α,所以B,C∈α.由基本事实2知c?α.同理,d?α,从而有a,b,c,d共面.综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.【类题通法】证明多线共面的两种方法1.方法一:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.2.方法二:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.【定向训练】一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.【证明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面.证明:方法一:因为a∥b,所以a,b确定一个平面α,因为A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,故l?α.又因为a∥c,所以a,c确定一个平面β.同理可证l?β,所以α∩β=a且α∩β=l.因为过两条相交直线a,l有且只有一个平面,故α与β重合,即直线a,b,c,l共面